人教A版必修4二倍的正弦、余弦、正切公式学案.docVIP

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式 问题导学 一、给角求值 活动与探究1 求下列各式的值： (1)2cos2－1；(2)； (3)－；(4)cos 20°cos 40°cos 80°． 迁移与应用 1．求下列各式的值： (1)cos215°－sin215°； (2)coscosπ． 2．求＋的值． 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱导公式是常用方法． 二、给值化简求值问题 活动与探究2 已知sin＝，0＜x＜，求的值． 迁移与应用 (1)已知cos＝，则sin 2x＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)已知tan α＝－，则＝________． (1)从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)另外，注意几种诱导公式的应用，如： ①sin 2x＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2； ②cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos； ③cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos． 三、关于三角函数式的证明问题 活动与探究3 求证：＝sin 2α． 迁移与应用 求证：＝tan4A． 当堂检测 1．sin 15°cos 15°的值等于(　　) A． B． C． D． 2．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝(　　) A． B． C． D． 3．的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 4．已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝________． 5．化简1＋cos 2α＋2sin2α＝__________． 　　提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案： 课前预习导学 【预习导引】 2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　 预习交流1　提示：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可得到．常用的变形有：cos2α＝，sin2α＝等． 预习交流2　提示：公式S2α，C2α中，角α可以为任意角；但公式T2α只有当α≠＋kπ且α≠＋(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝＋kπ，k∈Z时，tan α的值不存在；当α＝＋，k∈Z时，tan 2α的值不存在)．当α＝＋kπ，k∈Z时，虽然tan α的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan 2α的值可利用诱导公式，即tan 2α＝tan 2＝tan(π＋2kπ)＝tan π＝0． 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究1　思路分析：可以利用二倍角公式及其相关变形求解． 解：(1)原式＝cos＝cos＝cos＝． (2)原式＝＝2× ＝2×＝2． (3)原式＝ ＝ ＝ ＝＝4． (4)原式＝ ＝ ＝＝＝． 迁移与应用　1．解：(1)原式＝cos(2×15°)＝cos 30°＝． (2)原式＝cossin＝sin＝． 2．解：原式＝ ＝ ＝＝＝4． 活动与探究2　思路分析：解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联系，灵活求解． 解法一：∵x∈，∴－x∈． ∵sin＝，∴cos＝． 又cos 2x＝sin ＝2sincos ＝2××＝， cos＝sin ＝sin＝， ∴原式＝＝． 解法二：原式＝ ＝＝2sin． ∵sin＝cos＝，且0＜x＜， ∴＋x∈， ∴sin＝＝， ∴原式＝2×＝． 迁移与应用　(1)C　解析：法一：∵cos＝，∴(cos x＋sin x)＝，∴(1＋2sin xcos x)＝，∴sin 2x＝－． 法二：sin 2x＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－． (2)－　解析：＝＝＝tan α－＝－． 活动与探究3　思路分析：可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边． 证明：方法一：左边＝＝＝＝＝sincoscos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边． ∴原式成立． 方法二：左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边． ∴原式成立． 迁移与应用　证明：∵左边＝ ＝2＝2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边， ∴＝tan4A． 【当堂检测】 1．B　解析：sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15° ＝×sin 30°＝． 2．D　解析：∵tan θ＋＝4， ∴＋＝4． ∴＝4，即＝4． ∴sin 2θ＝． 3