高数第三章w.doc

任家录：高等数数考试复习及必做试题任家录：高等数数考试复习及必做试题PAGE 86PAGE 87 一元函数积分学§3.1 不定积分一 、考纲要求：1．理解原函数与不定积分的概念2．掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．二 、考点概述与解读：（一）原函数：1、定义：若，则称为的一个原函数。2、结论： eq \o\ac(○,1) 区间上的连续函数必有原函数； eq \o\ac(○,2) 若在区间上有一个原函数，则必有无穷多个原函数，并且其全部原函数为，其中为任意常数。（二）不定积分：1、定义：称的全部原函数为的不定积分，记作2、结论：，（其中）注：作填空题时务必不可忘记3、几何意义：不定积分在几何上表示一簇曲线，其在横坐标相同的点处的切线相互平行注：不定积分为积分曲线簇。（三）不定积分的性质：1、（先求导再积分，有）2、（先积分再求导，无）3、（四）基本积分公式：（1）； （2）（3）（）； （4）（5）（，）；（ 特别地 ）；（6）； （7）（8）； （9）（10）； （11）（12）； （13）（14）； （15）（16）； （17）（18）； （19）（20）； （21）（22）注：，，，，的原函数是存在的，但不是初等函数。（五）不定积分的计算：1、分解法：设法将被积函数分解成原函数已知的一些函数的线性组合（必要时可对被积函数进行代数变形或三角变形），然后使用下述公式：2、换元法： eq \o\ac(○,1) 第一类换元法（凑微分法）： eq \o\ac(○,2) 第二类换元法：注1：在使用第一类换元法时，一般无须写出换元过程，因而无须还原。在使用第二类换元法时必须写出换元过程，因而必须还原。注2：使用第二类换元法时常用的变量代换有：根式代换、三角代换、倒代换。3、分部积分法：注：使用分部积分公式时应把握如下一般规律： eq \o\ac(○,1) 对幂函数与指数函数积分时，一般考虑将指数函数放在微分号的后面； eq \o\ac(○,2) 对幂函数与三角函数积分时，一般考虑将三角函数放在微分号的后面； eq \o\ac(○,3) 对指数函数与三角函数积分时，将二者中任意一个放在微分号的后面均可，但必须分部积分两次，然后通过移项得出结果； eq \o\ac(○,4) 当被积函数有分母时，常需把一个分式因子看成某一个函数的微分，但一般不应看成反三角函数或对数函数的微分，即：当要把变形成在使用分部积分时，中一般不应出现反三角函数或对数函数。4、有理函数积分法：—— 利用观察法或待定系数法将被积函数分解成原函数已知的一些积分的线性组合，然后分别进行积分5、三角函数有理式积分法：—— 利用万能代换（令）公式将其化成有理函数积分6、简单无理函数积分法：—— 去根号（对偶次方根，用三角代换；对奇次方根，用根式代换）三 、实用题型及例题归类：题型一 关于不定积分的概念1．[89-4、5] 在下列等式中，正确的结果是 (C) (A) (B) (C) (D) 2．[90-3] 设函数ｆ（ｘ）在上连续，则等于 (B)(A) (B) (C) 　　 (D) 3．[92-3] 若f (x) 的导数是sinx, 则f (x) 有一个原函数为 (B)(A) 1 + sinx. (B) 1 - sinx. (C) 1 + cosx. (D) 1 - cosx4．若则 (C)(A) （B） （C） （D） 以上都不对5．[93-3] 已知曲线y = f (x) 过点,且其上任一点 (x, y) 处的切线斜率为xln(1+), 则f (x) = ；6．[01-2] 过点（1/2，0）且满足关系式 的曲线方程为；题型二 求初等函数的不定积分方法一 凑微分法1．[89-3] 求. 【 】 2．[87-5] 求不定积分. 【 】3．[93-3] 4．[93-4] ； 5．[97-2] =2arcsin+C(或arcsin+C)6．[87-3]