05第五篇贝赛尔函数.pptVIP

* 西安理工大学应用数学系 西安理工大学应用数学系 * 第五章 贝赛尔（Bessel）函数 －－－－－－特殊函数之一 1 Bessel方程的导出 §5.1 　Bessel方程及Bessel函数 引例：设有半径为R的圆形薄盘，上、下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度分布已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 该问题的数学模型为： 用分离变量法求解。令 代入方程得 考虑到边界条件，有 转化到极坐标系，问题变成 亥姆霍兹方程 再用分离变量法 第二个方程变形为 令　　　　　　　　　　代入方程得 求解固有值问题 得固有值及固有函数分别为 将　　　代入方程　　　　　　　　　　　　　　得 再由边界条件　　　　　知，　　　 故有下列固有值问题 又 只要能够求解该固有值问题，本节提出的热传导问题就解决了。下面先研究该固有值问题中的方程。 称为ｎ阶Bessel方程 一般的有v阶Bessel方程 2. Bessel函数－Bessel方程的解 用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为 于是 各阶导数为 代入Bessel方程，整理，得 于是由幂级数展式的唯一性，有 不妨取 其中　　　是一个任意常数，为了简化，取 注１： 是一个广义函数： 注２： 的性质： 当v是正整数 n时 回到原问题 这时 这样就得到了Bessel方程的一个特解 记为　　　，即 称为v阶第一类Bessel函数（级数）。 称为-v阶第一类Bessel函数（级数）。 当　　　时可得Bessel方程的另一个解　　　，即　　 由幂级数收敛性判定知，这两个级数在实数域内均绝对收敛。 若构造 Bessel方程的通解如何得到呢？ 　　情形１：当v 不是整数时， 与 　　线性无关，于是Bessel方程的通解为 则称　　　为第二类Bessel函数，而　　　与　　　线性无关，故通解又可写成 　　情形２：当 v是正整数n（包括零）时， 与 　　线性相关，于是需找到与　　　线性无关的函数，才能得到Bessel方程的通解。 定义 即可满足要求。 此时 下面说明　　　与　　　　的线性相关性： 由于当 而当　　　　　　　　　　　　　　　　　，于是有 故　　　与　　　　的线性相关。 例1　验证　　　　　　　是方程　　　　　　　　　　　　的解。　 分析：　　　　满足Bessel方程　　　　　　 证明：因　　　　　　 代入方程，得　　　　　　 例2：证明 的解为 性质1 有界性 性质2 奇偶性 §5.2 贝塞尔函数的性质 当v为正整数n时 性质3 递推性 推导： 于是得递推公式： 推导： 于是得递推公式： 例３ 求下列微积分 同理有递推公式： 性质４ 半奇数阶的贝塞尔函数 1 固有值问题的解－－ §5.1问题的继续 §5.3 正整数阶Bessel函数的性质及应用 上节要解决的固有值问题 经前面讨论之后，可得方程的通解为 2 Bessel函数的零点 由如上几个函数零点的布局结构，可推知 　　有无穷多个单重实零点，并关于原点对称分布，故 有无穷多个正零点，记为　　　　　 　　　与　　　　的零点是相间分布的，且　　　　　　 即　　　的最小正零点比　　　　的小。　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　,即　　　图形随着　　　趋于 以　为周期的函数。 这时 故固有值为 固有函数系为 在前面的介绍中，故有函数系均正交，此处如何？ ３ 固有函数系的正交性 证明略。 结论：n阶Bessel函数系　　　　　　　在　　上带权　　正交，即 且 结论：若　　在　　内分段连续，且　　　　　　　　　　则　　必能展成如下形式的级数 其中 ４ Fourier-Bessel级数 Fourier-Bessel级数 Fourier-Bessel系数 例4：将1在 区间内展成 的级数形式 解：设 由正交性知 而 所以 例5：将x在0x2区间内展成 的级数形式 解：设 由正交性知 而 所以