第1讲 函数及方程的思想方法 佘维平.docVIP

高中数学思维方法训练系列课程第1课 函数方程 珠联璧合 相互为用 更添光辉――函数与方程的思想方法特级教师 佘维平一、知识依托，方法整合1.函数是高中数学的一条主线，函数与方程的思想是中学数学最重要的基本思想，也是高考考查的重点。函数与方程虽是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)本身就是一个二元方程f(x)-y＝0，可以通过方程对这个函数进行研究。2.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质的问题.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。3．①函数与方程可以互相转化，函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。② 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。③ 函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。④ 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。⑤ 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。4.应用函数与方程的思想时要注意：　　（1）理解一般函数y=f(x)、y=f－1 (x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.　　（2）注意三个“二次”的相关问题，即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，这些都是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.要掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.二.典例精析例1 已知，（a、b、c∈R），则有（ ）(A) (B) (C) (D) 考查内容：运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题思维启动点：这是一个分式，不变形显然不能看出其与结果间的关系，变形的方式只有去分母，另由结果显然可以联想到二次方程的判别式，因此我们应该在去分母变形后观察这个式子与判别式之间的联系，从中寻找解题突破口。解析： 法一：依题设有 a·5－b·＋c＝0∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0 ∴ 故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：≥10ac＋2·5a·c＝20ac∴ 故选(B)反思提炼：解法一抓住了数与式的特点，通过主元转化（实数也可以作为主元！），敏锐地运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。例2 (2006山东模拟)已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过（1，1）点，反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f(x)=f1(x)+f2(x)（1）求函数f(x)的表达式；（2）证明：当a3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解；考查内容：本题重在考查函数的知识，方程思想的应用. 分析：对题（1），直接利用条件可求出函数解析式；对（2）要注意从所得方程的形式中分析、观查、挖掘解题信息.解析：（1）由已知，设f1(x)=ax2,由f1(1)=1得a=1，∴f1(x)=x2,设f2(x)=(k0)，它的图象与直线y=x的交点分别为A(,),B(-,-)，由｜AB｜=8得k=8,∴f2(x)=. 故f(x)=x2+.(2)由f(x)=f(a)得x2+=a2+, （思维启动点：这是个三次方程，怎么求解呢？三次方程的求根公式复杂，且中学不学，但这里既然要求解，我们要想到这个方程一定形式特殊，这就需要我们仔细观查分析其中的特殊点，于是会发现可以去分母后通过分解因式来解决，这其实也是中学阶段出现的高次方程获得解决的主要办法。）去分母，分解因式得 (x-a)(x+a-)=0, 此方程一个解为x1=a,方程x+a-=0化为ax2+a2x-8=0,由a3知Δ0∴x2=,x3=.∵x20,x30,x1≠x2,且x2≠x3,x1=x3时可得a4=4a.∴a=0或a=. 这与a3矛盾，∴x1≠x3. 故原方程有三个实数解.反思提炼：①注意挖掘解题信息是关键；②学生容易由“ax2+a2x-8=0,由a3知Δ0”③第（2）题也可以把f(x)=f(a)转化为=-x2+a2+,然后用数形结合的方法解决.可要求学有余