高一数学培优专题2010.docVIP

PAGE PAGE 1厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13）知识要点梳理本节公式中，,r为内切圆半径，R为外接圆半径，Δ为三角形面积.（一). 三角形中的各种关系设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角A、B、C．1．角与角关系：A+B+C = π，2．边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，a－b c，b－c a，c－a b．3．边与角关系： 正弦定理； 余弦定理； c2 = a2+b2－2bacosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．它们的变形形式有：a = 2R sinA，，．3）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋b·cosA．4）面积公式：（二）、关于三角形内角的常用三角恒等式：1.三角形内角定理的变形由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出：sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．而．有：，．2.常用的恒等式：（1）sinA＋sinB＋sinC＝4coscoscos；（2）cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sinsinsin；（3）sinA＋sinB－sinC＝4sinsincos；（4）cosA＋cosB－cosC＝－1＋4coscossin．3．余弦定理判定法：如果c是三角形的最大边，则有：a2＋b2＞c2 三角形ABC是锐角三角形a2＋b2＜c2 三角形ABC是钝角三角形a2＋b2=c2 三角形ABC是直角三角形(三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”（abA）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：A90°A≥90°a≥bababa≤babsinAa=bsinAabsinA一解两解一解无解一解无解(四)积化和差公式；；；(五)和差化积公式；；；（一）课前练习（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（2）在△ABC中，A=60°,b=1,面积为，则= . （3）在中， ，则＝_____(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝____（5）在中，若其面积，则=答案：（1）C；（2）（3）（4）（5）；（6）在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_______（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为 （8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求．答案：（6）；（7）；（8）；（9）；例题精讲：在△ABC中，已知，，B=45? 。求A、C及c解法一：由正弦定理得：∵B=45?90? 即ba ∴A=60?或120?当A=60?时，C=75?， 当A=120?时，C=15?， 解法二：设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理：，解之：, (1)当时 从而A=60? ，C=75?(2)当时同理可求得：A=120? ，C=15?例2.已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得①②③ ①②③由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0再将③代入得a＋c＝13由 ∴b1＝7，b2＝7所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，例3. △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.已知tanA+tanB+=tanA·tanB·，(1)求∠C的大小；(2)若c=，△ABC的面积S△ABC=，求a+b的值.解析；(1)tanC=－tan(A+B)=－=－=.∵0°＜C＜180°，∴C=60°. (2)由c=及余弦定理，得a2+b2－2abcos60°=()2.又由S△ABC=absin60°=，整理得∴(a+b)2=，即a+b=. 例4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长。解析：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，在△ADB中，cosADB＝在△ADC中，cosADC＝又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC。∴解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2。 例5. 在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。解析：设三角形的三