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第5讲 分解质因数　自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。　例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。　例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？　分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数：　把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），　于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。　例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？　分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。　从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。　2×5×11=110，13；　2×5×13=130，11；　11×13=143，2×5=10。　所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。　例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？　分析与解：首先将90909分解质因数，得 90909=33×7×13×37。　因为33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。　例4 求72有多少个不同的约数。　分析与解：将72分解质因数得到72=23×32。根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下：　上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。对比72=23×32，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。　根据乘法原理，72的不同约数共有4×3=12（个）。　从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。　例如，2352=24×3×72，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同约数有　（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）；　又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的约数有　（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（个）。　例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。　分析与解：这是求一个数的约数个数的逆问题，因此解题方法正好与例4相反。　因为这个数有六个约数，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b。因为这个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；对于a2×b，经试算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。　所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50。 　?练习51.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法？4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？　5.举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗？（2）两个质数的积能是质数吗？（3）两个合数的和仍是合数吗？（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6.求不大于100的约数最多的自然数。7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。