高三数学问题：2.3-如何用导数处理参数范围问题（含答案）.docVIP

PAGE  2017届高三数学跨越一本线精品 问题三 如何利用导数处理参数范围问题 导数是研究函数图像和性质的重要工具,自从新教材将导数引进高中数学教材以来,有关导数问题便成为每年高考的必考试题之一,且相当一部分是高考数学试卷的压轴题.其中以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及应用的试题,已成为最近几年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.随着高考对导数考查的不断深入,运用导数确定含参数函数中的参数取值范围成为一类常见的探索性问题,由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论.对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而且在众多的教辅资料中也很少有系统介绍,本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法,期望对考生的备考有所帮助. 一、与函数单调性有关的类型 用导数研究函数的单调性,这是导数最为基本的运用,相关结论是：若函数在区间上可导,则在区间上递增；递减.根据函数单调性求参数（函数中含参数或区间中含参数）的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）,一般步骤是：首先求出后,若能因式分解则先因式分解,讨论=0两根的大小判断函数的单调性,若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 【例1】已知函数f(x)＝exlnx－aex(a∈R),若f(x)在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a的取值范围． 【分析】利用导数判断函数的单调性,先确定在此区间上是单调增还是单调减函数．若 f(x)为单调递减函数,则f′(x)≤0,若f(x)为单调递增函数,则f′(x)≥0,然后分离参数a,转化为函数求最值. 【解析】由(1)知f′(x)＝(eq \f(1,x)－a＋lnx)ex, 若f(x)为单调递减函数,则f′(x)≤0,在x0时恒成立． 即eq \f(1,x)－a＋lnx≤0,在x0时恒成立． 所以a≥eq \f(1,x)＋lnx,在x0时恒成立． 令g(x)＝eq \f(1,x)＋lnx(x0), 则g′(x)＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x2)(x0), 由g′(x)0,得x1； 由g′(x)0,得0x1. 故g(x)在(0,1)上为单调递减函数,在1,＋∞)上为单调递增函数,此时g(x)的最小值为g(x)＝1,但g(x)无最大值(且无趋近值)． 故f(x)不可能是单调递减函数． 若f(x)为单调递增函数, 则f′(x)≥0,在x0时恒成立,即eq \f(1,x)－a＋lnx≥0,在x0时恒成立, 所以a≤eq \f(1,x)＋lnx,在x0时恒成立,由上述推理可知此时a≤1. 故实数a的取值范围是(－∞,1]． 【点评】已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解． 【小试牛刀】 【2015重庆理20（2）】设函数.若在上为减函数,求的取值范围. 【答案】 二、与不等式有关的类型 以导数作为工具,以含有参数的不等式作为载体在知识交汇处命题已成为如今各地联考和高考命题的热点之一,在利用不等式恒成立求参数取值范围时,常利用以下结论： ①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解； ②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立. 【例2】已知函数 （Ⅰ）判断函数的单调区间； （Ⅱ）若对任意的,都有,求实数的最小值. 【分析】（Ⅰ）先求导可得,因为分母,可直接讨论分子的正负即可得导数的正负,根据导数大于0可得其单调增区间,导数小于0可得其单调减区间.（Ⅱ）可将转化为,设函数,即转化为对任意的, 恒成立,即函数的最大值小于0.先求函数的导数,讨论其正负得函数的单调区间,根据单调性求其最值,根据函数的最大值小于0即可求得的范围. （Ⅱ）等价于, 设函数,对于函数,不妨令. 所以, 当时,在时,,所以在为增函数,所以,不符合题意； 当,在时,,所以在为增函数,所以,不符合题意； 当时,在时,,所以在为减函数,所以,即在上成立,符合题意； 综上,实数的最小值为. 【点评】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立问题等数学知识,考查综合分析问题解决问题的能力和计算能力,考查函数思想和分类讨论思想.利用“要使成立,只需使函数的最小值恒成立即可；要使成立,只需使函数的最大值恒成立即可”.在此类问