高三数学误区：3.2-三角函数象变换失误（含答案）.docVIP

2017届高三数学跨越一本线精品 误区二：三角函数图象变换失误 三角函数的图象变换,是三角函数考查热点之一,也是易错点之一,虽然说图象变换不外乎平移、伸缩、翻折(对称)这三类,但考生在变换过程中出现的差错却比比皆是,究其原因,是对函数性质及其图象特征认识不够深入,因此在变换中,对变换的数据无法完全把握,从而造成失误. 本文重点从高考中涉及较多的伸缩变换和平移变换加以辨析. 一、伸缩变换 伸缩变换是容易出现错误的一个类型,是因为这类变换体现在横坐标和纵坐标上的变化似乎不一样,比如：将函数y＝f(x)的图象变换为y＝2f(x)的图象,需要将y＝f(x)图象上每一点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍；而将函数y＝f(x)的图象变换为y＝f(2x)的图象,则需要将y＝f(x)的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的.之所以出现这个差异(一个是扩大,一个是缩小),原因很简单,注意到后一个关于横坐标的变化中,系数2就是x的系数,而前一个关于纵坐标的变换,系数2并不是y的系数,如果要将这个系数写到y身上,则是y＝f(x),这样以来,变换的“拉伸”和“压缩”与系数的关系就统一起来了. 【例1】【山西省运城市2017届高三上学期期中】把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移个单位,这是对应于这个图象的解析式为（ ） A． B． C． D． 【分析】本题的第一步变换容易出现失误,题目要求“把所得各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)”,不少考生将x的系数由1变为 ,导致解题错误 【解析】函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变得到,再把图象向右平移个单位,得到. 【答案】A 【小试牛刀】把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数为 【分析】本题与例1及极其相似,关键是后一步伸缩变化时,不要将系数误写为2. 【答案】. 二、平移变换 相对来说,平移变换似乎问题少一些,因为大家都记住了一个口诀：左加右减,上加下减.却很少有人追问：为什么向y轴正方向(上方)平移就是加,而向x轴正方向(右方)平移却是减？其实,理由与伸缩变换的理由很类似,y＝f(x)变换为y＝f(x)＋1,确实是纵坐标增大了一个单位,所以向上平移；而将y＝f(x)变换为y＝f(x＋1),对应的x应该减小1个单位,函数式才能保持等量关系,所以需要向左(负方向)平移1个单位. 【例2】【2017湖北省荆州市高三上学期第一次质检】将函数的图象向右平移个单位长度,所得函数图象关于轴对称,则的最小值为( ) A． B． C. D． 【分析】先得到平移后的解析式y,再根据所得函数的图象关于轴对称,写出m的表达式,找出最小值. 【答案】C 【点评】(1)平移变换中,记住“左加右减,上加下减”的口诀是没有错,但这只能确定平移方向,还需要注意平移的幅度,否则也是很容易出现差错的. (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴． 【小试牛刀】【2016届福建省师大附中高三上学期期中】要得到函数的图象,只需要将函数的图象（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【点评】利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现．无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少．先周期变换（伸缩变换）再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（）,再沿轴向左（）或向右平移个单位可得到的图象． 三、平移与伸缩综合问题 现在的试题中,三角函数图象变换通常是平移与伸缩变换同时进行,即将y＝sinx变换为y＝Asin(ωx＋Φ)的形式,此类问题有两条路线可走：一是先平移,平移量为Φ个单位,然后横向伸缩变化,伸缩量为倍,最后做纵向伸缩变换,伸缩量为A倍.二是先横向伸缩,伸缩量为倍,然后横向平移,此时要特别小心,平移量为个单位(这往往也是命题者考查学生的关键点),最后做纵向伸缩变换,伸缩量为A倍. 【例3】【天津六校2017届高三上学期期中联考】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数的图象．则图象一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 【分析】先确定,再由确定对称轴. 【解析】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得,再向右平移个单位长度,得,对称轴为,所