高等数学第五 函数的微分.pptVIP

2.5 函数的微分 四、 微分在近似计算中的应用 微分在估计误差中的应用 内容小结 * 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则 四、微分在近似计算中的应用 一、微分的定义 ( A 为不依赖于△x 的常数) 的微分, 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 则称函数 而 称为 在点 可微, 在点 的增量与自变量增量 有如下关系 若函数 一定义: 什么样的函数可微分 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 在点 的可导, 故 且 “充分性” 已知 在点 的可导, 则 即 所以函数在一点可导与可微是等价的 函数 在区间每一点有微分,则称函数在该区间内可微分.记作: 求函数的微分: 所以导数又称微商 很小的时候 函数的微分可用于简化计算 边长由 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 变到 其 ◆基本微分公式——与基本导数公式一一对应 ◆微分的四则运算法则 导数运算 微分运算 证明 ◆复合函数的微分法则和微分形式不变性 例 解 例 解 例 解 复合函数的微分 ◆在括号中填入适当的函数，使等式成立 当 很小时, 使用原则: 得近似等式: 解：角度化为弧度 由近似公式 特别当 很小时, 常用近似公式: 很小) 证明: 令 得 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 *