高等数学4.4. 教学设计.docVIP

课题 4.4.1线性方程组解的讨论 教学 目标 知识目标 （1） (4.1) 记 ， ， 根据矩阵的乘法，线性方程组(4.1)可表示成矩阵形式： (4.2) 式(4.2)称为线性方程组(4.1)的矩阵表示，矩阵A称为系数矩阵， 矩阵 称为增广矩阵． 当线性方程组(4.1)的常数项均为0时，即 (4.3) 称它为齐次线性方程组，它的矩阵形式为 显然，任何一个线性方程组都有唯一的增广矩阵与之对应． 写出线性方程组的矩阵 形式与增广矩阵． 解：设，，， 则方程组的矩阵形式为：AX=B 增广矩阵为． （二）、线性方程组解的判定 对于线性方程组的解，有如下两个定理． 定理1 设、分别是线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵，那么 （1）线性方程组(4.1)无解（或）； （2）线性方程组(4.1)有惟一解； （3）线性方程组(4.1)有无穷多解. 由于齐次线性方程组(4.3)的,故齐次线性方程组一 定有零解. 定理2 设是齐次线性方程组(4.3)的系数矩阵，那么 （1）齐次线性方程组(4.3)只有零解； （2）齐次线性方程组(4.3)有非零解. 注意：上述的是指未知量的个数,而不是方程组中的方程个数． 【例2】判断以下线性方程组是否有解？若有解，是惟一解还是有 无穷多解？ （1）；　（2） （3） 解：（1）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 . ，根据定理1，方程组无解． 事实上，若把矩阵写成其对应的线性方程组，矩阵的第三行对应一 个矛盾方程，故方程组无解. (2) 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵 ，即 .由定理1知，方程 组有惟一解． 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成阶梯形 矩阵，即 ,由定理1知，方程组有无 穷多解. （三）、求线性方程组的解 【例3】求例2（2）中线性方程组的解． 解：对例2（2）中所得的阶梯形矩阵继续施行初等行变换， 化成行简化阶梯形矩阵： ， 与原方程同解的方程组，故方程组的 解为 【例4】求例2（3）中线性方程组的解. 解：对例2（3）中所得的阶梯形矩阵继续施行初等行变换，化成行简化阶梯形矩阵： 与原方程组同解的方程组为： 令，得原方程组的解为： 其中为任意常数,这种解的形式称为线性方程组的通解或一般解. 【例5】求解齐次线性方程组 解：该齐次线性方程组的系数矩阵 与原方程组同解的方程组为： 令，得原方程组的通解为：，其中为任意常数． 2.探究例题 【例6】木工，电工，水泥工互相装修他们自已的房子，每人总工作 10天，每人日工资为120—150元，每人的日工资应使得每人的总收入与 总支出相等，表44为分配方案，问他们的日工资分别为多少？ 表４－4 木工 电工 水泥工 在木工家工作天数 2 1 6 在电工家工作天数 4 5 1 在水泥家工作天数 4 4 3 解：设木工，电工，水泥的日工资分别为， 依题意，则其对应的线性方程组为： 化为齐次线性方程组为： 其对应的系数矩阵为，把化为阶梯形矩阵： 与原方程组同解的方程组为 设，得原方程组的通解为： 由于每人日工资为120—150元，可取=144，上述方法求解得 ，即每人日工资分别为124元、128元、144元. 四、课堂练习 1．求线性方程组的解 （1） ； （2） 2.求齐次线性方程组的解 五、课堂小结 1.线性方程组的矩阵表示 2.线性方程组解的判定 3.求线性方程组的解 六、布置作业 1.必做：《习题集》作业4.4.1 选做：习题4.4的2 2.拓展作业 根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料 3.上机操作 利用Excel求解课堂练习 用一道典型的古代数学问题引入新课 线性方程组的系数用矩阵来表示 线性方程组解的解判定，这部分内容要求学生熟练掌握定理结论，不作展开证明 用初等变换方法及结合定理1对线性方程组解的情况进行判定 无解的情况 唯一解的情况 无穷解的情况 唯一解求解结果 无穷多解的解表示 求解齐次线性方程组，当无穷多解时注意其解的表示方式 线性方程组求解的实例 结合实际情况进行求解 讲完此道例题后可以引导学生思考：“情境引入”的求解 课堂相应练习进行巩固 以提问的方式来小结本次课的内容