高等数体积.pptVIP

* * 1.元素法的步骤: 1） 作图， 2） 在区间 内， 任取一小区间 则 相应于该区间上的微分元素为 3） 写出定积分的表达式： 定积分区间 选积分变量 复习 o y x 其面积元素为： 则面积为 上曲线 下曲线 x o y 2.平面图形的面积 曲边梯形的面积: x y o c d y+dy y x o y c d y+dy y 其面积元素为： 则面积为 右曲线 左曲线 曲边梯形的面积: 5-4体积 旋转体就是由一个平面图形绕这 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积 旋转轴． 平面内一条直线旋转一周而成的立体． 该直线叫做 特点： 垂直于轴的截面是圆. 1.旋转体定义： 旋转体的体积为 取积分变量x， 在 上任取小区间 取以 为底 的窄曲边梯形绕x轴旋转 而成的薄片的体积近似 x y o x y o 围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积. 求由连续曲线 直线x=a、 x=b(ab) 及x轴所 2. 方法： 于以 为底半径， 以 为高的扁圆柱的体积， 即体积元素 类似地， 如果旋转体是由连续曲线 直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转 一周而成的立体的体积. 解 例1 求y2＝4x, x [0,4]绕x轴旋转时形成的旋转体的体积 取积分变量为x, 则积分区间为 在[0,4]上任取小区间 则该薄片的体积元素为 则所求的体积为 例2 所围成的图形绕 x 轴旋转一周， 求所得旋转体的体积V. o x y y=1 由 解 取积分变量为x, 则积分区间为 在[0,1]上任取小区间 则该薄片的体积元素为 则所求的体积为 例3 求抛物线 与直线 所围的图形绕x轴 解 如图：联立方程组 得交点坐标为 取x为积分变量，则 于是体积元素为： 则所求体积为 旋转所得立体的体积. o x y 2 解 上半椭圆的方程为： 由公式知： 同理得椭圆绕y轴旋转而成的旋转体的体积为： 例4 求由椭圆 绕x轴旋转所成旋转体的体积. 例5 所围成的图形绕 y 轴旋转一周， 求所得旋转体的体积V. 解 体积元素为 取积分变量为y, o x y y=1 由 求星形线 绕x轴旋转构成的 旋转体的体积. 例6 解 由公式 所求的体积为 解 求星形线 绕x轴旋转构成的 旋转体的体积. 例6 旋转体的体积为 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体， 立体体积 立体的体积也可用定积分来计算. 上垂直于一个定轴的各个截面面积， 这个 表示过 点 且垂直于 轴的截面面积. 那么， 为 的已知的连续函数. 但却知道该立体 解 建立如图的坐标系. 则底圆方程是： 一个直角三角形. 两直角边的长分别为 例7 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆的中心， 底圆交成角 计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 并与 过点 且垂直于 轴的截面是 及 即 及 则截面面积为 从而得体积元素为 x 在闭区间 上作定积分， 便得所求立体的体积 *