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第三章 随机过程 3.1 引言 通信系统中用于表示( 载荷) 信息的信号不可能是单一的确定的, 而是各种不同的信 号. 信息就包含于出现这种或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具体出现哪个 信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测,则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随 机信号。 通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声的波形更是各式各样,随机的不可予测 的.我们称其为随机干扰和随机噪声。尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机信号和随机干扰统计规律性的数学工具 是随机过程理论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取 值称作其实现（样函数）是时间函数，所有实现（样函数）构成的集合称作随机过程的样函 数空间（? ），所有样函数及其统计特性即构成了随机过程，我们以大写字母 X(t), Y(t） 等表示随机过程，以对应的小写字母 x(t), y(t) 等表示随机过程的实现（样函数）。 3.2 随机过程的统计（概率）特性 随机过程的统计性质可由其分布函数和概率密度描述。 3.2.1. 随机过程的分布函数和概率密度 F1 x1 , t1 = P X t1 ≤ x1 称作随机过程X t 的一维分布函数。 其中：P [ ] 表示概率 ? F1 x1 , t1 3. 2. 1 如果存在：  ? x1 = p1 x1 , t1 则称其为 X t 的一维概率密度。 3. 2. 2 . 称：Fn x1 , x2 .. .xn , t1 , t2 .. .tn = P X t1 ≤ x1 ; X t2 ≤ x2 ; ... X tn ≤ xn 为 X t 的 n 维分布函数。 如果存在：  3. 2. 3 ? Fn x1 , x2 ,.. .xn , t1 , t2 .. .tn ? x1 ? x2 .. .? xn  = pn  x1 , x2  .. .xn  , t1, t2  .. .tn  3. 2. 4 则称其为 X t 的n 维概率密度。 如果对于任何时刻 t1 , t2 .. .tn 和任意 n = 1 , 2 ,...  都给定了X t  的 分布函数或概率 密 度，则认为 X t 的统计描述是充分的。 3.2.2. 随机过程的数字特征 1）数学期望（统计平均值）： E X t =∫∞  x p1  x, t d x = m X  t 3. 2. 5 2）方差： D X t = E X t - E X t 2 = =∫∞ 2 ∞ 2 2 2 - ∞ x - mX t p1 x, t d x =∫- ∞ x p1 x, t d x - mX t = σX t 3. 2. 6 σX t 称为标准差。 3）自相关函数（统计平均，或称集平均）： E X t1 X t2 = RX t1 , t2 = =∫∞ ∞  x , x , t , t  d x d x  3. 2. 7 - ∞ ∫- ∞ x1 x2 p2 1 2 1 2 1 2 4）自协方差函数： CX t1 , t2 = E X t1 - mX t1 X t2 - mX t2 = =∫∞  x - m t  x - m t  p x , x , t , t  d x d x = - ∞ ∫- ∞ 1 X 1 2 X 2 2 1 2 1 2 1 2 = RX t1 , t2 - mX t1 mX t2 . 5）归一化协方差函数—相关系数 ρ t , t = CX t1 , t2 X 1 X 2 若 ρ X t1 , t2 = 0 [ 或 CX t1 , t2 = 0], 则称 X t1 和 X t2 不相关。  3. 2. 8 3. 2. 9 3.2.3. 两随机过程的联合分布函数