概率论与理统计2.2.pptVIP

§2.2 随机变量的数字特征 一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、随机变量的方差 六、随机变量的矩与切比雪夫不等式 为什么要研究随机变量的数字特征 尽管随机变量的分布函数(概率分布、概率密度)完整地描述了随机变量的统计规律性。但是这种完整的描述并不使人感到方便，而且在一些实际问题中，也不需要去全面考察随机变量的分布，而只需知道随机变量分布的某些特征，因此并不需要求出它的分布函数(概率分布、概率密度) 。 为什么要研究随机变量的数字特征 在评定某一地区粮食产量时，在许多场合只需知道该地区的平均产量。 在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数。 在检查一批棉花的质量时，即需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。 为什么要研究随机变量的数字特征 与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都有重要的意义。 本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和矩。 一、离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量数学期望的定义 例2 例2（续） 例 3 例4 例5 例6 三、随机变量函数的数学期望 例7 例8 例9 2、方差的性质 例11 例12 六、随机变量的矩与切比绍夫不等式 * 现在他射击N次，其中得0分有a0次，得1分有a1次，得2分有a2次，a0 + a1 + a2 = N。他射击N次得分的总和为 例1. 一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1得1分，脱靶，即射入区域e0得0分。射手一次射击得分数X为一个随机变量。设X的概率函数为 平均一次射击的得分数为 ： 的射击水平由下表给出 甲、乙两人射击，他们 ：甲击中的环数； X X 8 9 10 P 0.1 0.3 0.6 ：乙击中的环数； Y 平较高？ 试问哪一个人的射击水 为 甲、乙的平均环数可写 5 . 9 6 . 0 10 3 . 0 9 1 . 0 8 = ′ + ′ + ′ = EX 1 . 9 3 . 0 10 5 . 0 9 2 . 0 8 = ′ + ′ + ′ = EY 的好． ，甲的射击水平要比乙 因此，从平均环数上看 解： 此例说明了数学期望更完整地刻化了X的平均水平。 (3)数学期望E(X)完全由随机变量的概率分布所确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望。 (4)数学期望刻划了概率分布的中心位置。多数情况下，在离E(X)越远的位置概率分布的就越稀疏。 说 明 ． 观测值变化的平均水平 的数学期望刻划了 X X ) 1 ( 的求和顺序无关． 的和与其级数 能保证级数 绝对收敛时，才 ，只有当级数 变化的平均水平，因此 观测值 机变量 的数学期望表示的是随 由于随机变量 ? ? ? ￥ = ￥ = ￥ = 1 1 1 ) 2 ( n n n n n n n n n p x p x p x X X 二、连续型随机变量数学期望 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，且f(x)只在[a, b]上不等于0。取分点 则X落在区间 [xi, xi+1]中的概率为 这时概率分布 可视为X的离散近似，服从上述分布的离散型随机变量的数学期望为 连续型随机变量数学期望的定义 的概率密度函数为 设随机变量 X ( ) ? ? ? í ì p ￡ p = 其它 , 0 2 , cos 2 2 x x x f ( ) X E 求 的概率密度函数为 设随机变量 X ( ) ? ? ? í ì ￡ ￡ - ￡ = 其它 , 0 2 1 , 2 1 0 , x x x x x f ( ) X E 求 的概率密度函数为 设随机变量 X ( ) ( ) +￥ ￥ - + × = x x x f 2 1 1 1 p 由于 ( ) ò +￥ ￥ - dx x f x ò +￥ ￥ - + = dx x x 2 1 1 p ò +￥ + = 0 2 1 2 dx x x p ( ) +￥ + = 0 2 1 ln 1 x p +￥ = ( ) 不绝对收敛， 这表明积分 ò +￥ ￥ - dx x xf 不存在． 因而 EX 定理 1： 设 Y=g(X), g(x) 是连续函数. (1) 若 X 的概率分布为 且 绝对收敛, 则 EY= 的概率分布为 设随机变量 X ( ) 2 EX - X E 求 的概率密度函数为 设随机变量 X ( ) ? ? ? í ì ￡ ￡ - ￡ = 其它 , 0 2 1 , 2 1 0 , x x x x x