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含30°角的直角三角形的性质 新疆库尔勒市第八中学 王彬 将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起（较长直角边靠在一起且直角顶点重合），可拼成一个什么样的三角形？你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？ 本节课我们再次学习与直角三角形相关的一个性质. 自主探究 直角三角形的性质 探究 将两个全等的含30°角的直角三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？ 　　思考　这个命题是真命题吗？请进行证明． 　　问题　请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来. 　　猜想　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 　　已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°， ∠A =30°. 求证：BC = AB． 你还能用其他方法证明吗？ 另证：作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE，则∠ACE =90°-60°=30°． 在△ABC 中， ∵　∠ACB=90°，∠A =30°， ∴　∠B =60°． 在△BCE 中， ∵　∠BCE=60°，∠B =60°， ∴　△BCE 是等边三角形． ∴　BC =BE =CE． E A B C 在△ACE 中， ∵　∠A=30°，∠ACE =30°， ∴　△AEC是等腰三角形． ∴　CE =AE． ∴　BC =BE =CE =AE． E A B C ∴　BC =BE =AE = AB． 符号语言： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C ∴　BC = AB．　　 　　 练习1　如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为 ． A B C 5 　　 练习2　如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1 A B C D 直角三角形性质的运用 　　例　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长. A B C D E A B C D E 解：∵　DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°， ∴　BC = AB，DE = AD．　 又　AD = AB， ∴　DE = AD =1.85（m） ．　　 ∴　BC =3.7（m）．　 答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．　　 　　练习3　Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？　　　 证明：∵∠B+∠A=180°- ∠C=90°， ∠B=2∠A， ∴∠B=60°，∠A=30°. ∴ AB=2BC. 随堂检测 1. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ） A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm C 2. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD. 证明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C, ∴∠C = 30°，∠ABC = 60°. 又BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC =30°. ∴∠DBC=∠C，∴BD=DC. 在Rt△ABD中，∵∠ABD = 30°， ∴AD= BD = DC，即DC = 2AD. 课堂小结 课后作业 完成练习册本课时的习题。