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新三维混沌系统动力学分析及电路实验 　　【摘 要】通过代数方法，构造出来一个具有复杂混沌吸引子的非线性混沌自治三维系统.从理论和数值两方面对吸引子进行了分析和仿真，得到了系统在平衡点处不稳定的参数范围。通过分岔图和Lyapunov指数谱进一步揭示了系统丰富的动力学行为.最后，对该混沌系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与实验验证。 　　【关键词】稳定性；分岔；Lyapunov指数；电路仿真 　　引言 　　1963年，Lorenz得到第一个混沌系统——Lorenz系统后，许多新的混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究，并且这些系统的吸引子也被实验电路所验证[1-8]. 1999年，陈关荣利用反控制的方法发现了一个与Lorenz系统不同的混沌系统称为chen系统.2002年，吕金虎等发现了lü系统，实现了从Lorenz系统向Chen系统的过渡.2004年，刘崇新等又提出了一个含有非线性平方项的新的三维自治混沌系统 ——Liu系统.文献[9]和[10]提出并实现了两个特殊的吸引子，即多涡旋混沌吸引子和Lyapunov指数恒为常数的吸引子. 　　本文构造了一个新的混沌系统，通过理论推导和数值仿真对其基本动力学特征进行研究，利用分岔和Lyapunov指数揭示了系统丰富的动力学行为。最后设计了能实现这个系统的混沌吸引子的实验电路，并且进行了实际电路验证。 　　1、数学模型及动力学特性分析 　　（1） 　　其中 为系统状态变量， 为实参数且 。系统（1）中仅含有2个非线性项 和 .可以通过数学证明系统（1）与Lorenz系统族中的任何一个都不具有拓扑等价性，是一个新的混沌系统。 　　1.1基本性质 　　（1）对称性 　　注意到原系统在 的变换下保持不变，所以系统（1）关于 轴是对称的，即若 是系统的解，则 也是系统的解。显然， 轴本身也是系统的一条解轨线。因此，对于 ，轴上所有的解轨线都趋于原点。 　　（2）吸引子的存在性 　　系统（1）的向量场散度和Jacobian矩阵分别为 　　根据Liouville定理，变化率反映为Jacobian矩阵的迹，则 　　其中 为矩阵 的特征根， 为系统的3个 指数。 　　由于 ，所以系统（1）是耗散的，且以指数形式 收敛。因此，系统（1）的轨线都会被限制在一个体积为零的集合上???并且动力学行为会被固定在一个吸引子上，故吸引子是存在的。 　　1.2平衡点稳定性分析 　　可以计算得到系统（1）的三个平衡点分别为 　　其中对于后两个实根要求 。 　　由系统的Jacobian矩阵可得特征方程为 　　其中 为待定的特征根。 　　将平衡点 代入特征方程得 　　（2） 　　当 时，由Routh-Hurwitz定理知平衡点 是不稳定的。 　　由于 和 具有对称性，这里只对 进行讨论。将 代入特征方程中有： 　　可得平衡点 不稳定的参数条件为 　　（3） 　　1.3吸引子数值仿真 　　当参数 时，根据式（3）可求得系统（1）不稳定的参数条件为 ，不妨取参数 ，这时 ，系统（1）是耗散的，三个平衡点分别为 　　。由式（2）可得平衡点 的特征值分别为 　　。因此平衡点 是不稳定的。同理可知， 和 也是不稳定的。 　　2、动力学行为分析 　　参数 ，系统的分岔情况及Lyapunov指数随着 的增大，系统由不动点进入了一个较长的含有多个周期窗口的混沌区域，在每个周期窗口中都有逆倍周期分差现象，都是周期到混沌的阵发过渡。由Kaplan-Yorke猜想公式确定的系统吸引子的分数维很低这与Lorenz系统比较类似。 　　3、电路实验 　　混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的，许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到的验证[6].基于电子电路设计原理，设计了混沌系统（1）在 时的电路，电路中的运算放大器型号为TL084CN，乘法器型号为AD633（增益为1），电源电压值为12V。 　　对电路进行实验，分别在输出端口接入示波器，得Multisim10.0仿真这与其Matlab 数值仿真结果一致. 　　4、结语 　　本文构造了一个新的三维自治系统，根据Routh-Hurwitz定理得到了系统不稳定的参数取值范围，通过数值仿真得到了系统的混沌吸引子，并且由系统分岔情况和Lyapunov指数揭示了系统的丰富动力学行为。最后，对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路，进一步验证了吸引子的存在性。 　　参考文献： 　　[1]Liu CX，Liu T，Liu L.A new chaotic attractor[J]. Chaos Solitons and Fractals，2004， 5：1031. 　　[2]褚衍东，李险峰，张建刚，等.一个新自治混沌系