三角函数和平面向量易错点例析.docVIP

三角函数与平面向量中的易错易漏点分析 一．三角变换 1.忽视函数的定义域对角范围的制约致错 注意定义域对角范围的制约 有些三角函数的定义域，因其相对隐蔽，解题时往往被忽略考虑，造成错解。 求函数的递增区间。 错解：设 剖析：上述解法忽略了函数的定义域。因为题目中分母不能为零，即 例2.求函数的最小正周期。 错解：，。即函数的最小正周期为。 错解剖析：不是的周期，因为当时，有意义，所以由周期函数定义知应有成立，然而根本无意义，故不是其周期，错解是由于忽视其定义域产生的。 正确解法： 解：函数的定义域要满足两个条件； 要有意义且 ，且 当原函数式变为时， 此时定义域为 显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的图象： 而原函数的图象与的图象大致相同 只是在上图中去掉所对应的点 从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为 说明：此题极易由的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函数的最小正周期是（ ）。A. B. C. D. 。此题就可以由的周期为而得原函数的周期也是。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。 2．忽视注意三角函数值对角范围的制约致错 三角求值或求角的大小时，不仅要注意有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，不然容易出错。 例3. 已知α、β为锐角，，，求β。 错解：由α、β为锐角，知，所以。 又或cosβ=， 得。 剖析：在上面的解法中，未能就题设条件进一步缩小α+β的范围，引起增解。我们可以作如下进一步分析： 因为所以或。又，得，于是，故。 例4 已知是方程x2-6x+7=0的两根，，求的值. 错解：由韦达定理得①又② 因为，所以,③ 由②③得或 辨析:由①知，两根同号且均大于0，所以。故正确答案为： 3．忽视三角形的边角关系对角范围的制约致错 解与三角形有关的三角问题时，必须注意三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系等对角范围的制约，以免产生增解。 例5． A、B、C为△ABC的内角，且，求cosC的值。 错解：由，得，且 。 剖析1：由于，，故，两边乘△ABC外接圆的直径2R，得 所以角B一定是锐角。于是，故。 剖析2：若 得矛盾。故角B为锐角，从而，故。 例6． A、B、C为ABC的内角， A、B、C依次成等差数列，求cosAcosB的取值范围. 错解：因为A、B、C成等差数列，所以2B=A+C，所以B=600，A+C=1200， 由Cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC, cosAcosC=1/2[cos(A+C)+cos(A-C) =1/2[cos1200+cos(2A-1200)]=-1/4+1/2cos(2A-1200) ，因为，所以，所以 辨析：注意到B=600,C+A=1200则C=1200-A0，所以00A1200,-12002A从而。故正确答案应为： 4．忽视变形式子对角范围的制约致错 在三角变形过程中，有时要利用变形后的式子来进一步缩小角的范围，这样才能得出正确的结果。 例7．已知，且，求的值。 错解：由已知等式得……① ……②， 得：。 ，， ，或。 剖析：上述解法错了，错在没有利用题设条件进一步缩小的范围，产生了增根。 事实上，同理可得,……③ 又，，， 因此结合③得：，，。又。从而，故。 5.忽视三角函数的值域致错 例8.若，求的最大值与最小值。 错解：由已知得：，则有 。 当时，取得最大值1，当时，取得最小值。 分析：最小值求错了，错的原因就是未注意正弦函数的有界性。 正解：由知，解之得：。故的最大值与最小值分别为1和。 6.三角代换不等价致错 例9.已知，求证：。 错证：设，则有 故不等式成立。 错解分析：这里的题设条件中尽管呈现正、余弦函数的有界性，但两个字母a、b并非有一定的制约关系，因此不能设成同名，且最后一步正、余弦平方和大于零也欠推敲。 例10.已知，求的取值范围。 错解：由得：，可设，其中，则有 。 由所设推得：，即。 ，于是 ，，。 错解：剖析：仔细分析满足已知不等式的、的取值范围应为，故在三角代换时不等价，对角的范围要限制成，正确结果应为。 7.解法不当引起增解致错 例11.已知，且，，求。 错解：，，， 又。 由知，或。 错解剖析：由于正弦值为的角在上不唯一，才造成两解。正确解法应是取余弦，因余