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判断无穷广义积分敛散性的方法 XX （XX大学 XX学院 湖南） 摘 要：介绍无穷积分敛散性的几种方法，定义法，柯西判别法，比较法，狄利克雷和阿贝尔判别法，积分法以及函数，以及进一步讨论这些方法的讨论. 关键词： 收敛；发散；无穷积分 Criteria For The Convergence And Divergence Of Improper Integrals XX XX Abstract：criterion, for the convergence of improper integrals, and definition, Cauchy criterion, criterion by comparison, Dirichlet theorem and Abelian theorem, integration and function and for the more, deals with the applications of those methods. Key Words：convergencedivergence；improper integral 1.定义[2] 设函数定义在无穷区间[a，+）上，且在任何有限区间[a，u]上可积.如果存在极限 ， （1） 在[a，+）上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记做 J= ， 并称收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散. 2.用定义来判断无穷广义积分的敛散性 定理2.1[2]无穷积分收敛的充要条件是：任给，存在G，只要G，便有 . 性质2.2[2]若与都收敛，，为任意常数，则 也收敛，且 = . 性质2.3[2]若在任何有限区间[a，u]上可积，ab，则与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 =+， 其中右边第一项是定积分. 性质2.4[2]若在任何有限区间[a，u]上可积，且有收敛，则亦必收敛，并有 . 3 广义积分的柯西收敛原理 下面以为例探讨广义积分收敛性的判别法，由于反常积分收敛，即为极限存在. 推论3.1[2]若定义于[a，+）（a0），且在任何有限区间[a，u]上可积，则有： 当，[a，+），且p1时收敛； 当，[a，+），且p1时发散. 推论3.2[2]设定义于[a，+），在任何有限区间[a，u]上可积，且 =. 则有： 当p1，时，收敛； 当，时，发散. 例[2] 讨论下列无穷积分的收敛性： 1）； 2）. 解 1）由于对任何实数都有 =0, 因此根据上述推论（p=2, =1）,对任何实数都是收敛的. 2）由于 , 因此根据上述推论（p=，=1），则是发散的. 对于的比较判别亦可类似地进行. 比较判别法 定理4.1[2]（比较法则）设定义在[a，+）上的两个函数和都在任何有限区间[a，u]上可积，且满足 ，[a，+）， 则当收敛时必收敛（或者，当发散时，必发散. 例[1] 讨论的收敛性. 解 由于，[0，+），以及为收敛，根据比较法则，为绝对收敛. 推论4.2[2]若和都在任何 [a，u]上可积，0，且，则有： 当0c时，与同敛态； 当c=0时，由收敛可推也收敛； 当c=时，由发散可推知也发散. 例[3] 当n满足什么值时，收敛. 解 I==+ 对：n=1是为正常积分， n1时， 右边收敛，推出收敛. 2n1时， 则收敛. n2时发散. 对：当n1时原式收敛； 当n=1时， 则发散； 当n1时，原式也发散， 所以，当1n2时收敛. 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 定理5.1[2]若在[a，+）上有界，在[a，+）上当x时单调趋于0，则收敛. 证 由条件设，u [a，+).任给，由于，因此存在Ga，当xG时，有 . 又因g为单调函数，利用积分第二中值定理，对于任何，存在，使得 . 于是有 = + . 根据柯西准则，证得收敛. 定理5.2[2]若收敛，在[a，+）单调有界，则收敛. 例讨论与（p0）的收敛性. 解 这里只讨论钱一个无穷积分，后者有完全相同的结论.下面分两种情形来讨论： （i）当p1时绝对收敛，这是因为 ，x[1，+）， 而当p1时收敛，故有比较法则推知收敛. (ii)当0p1时，条件收敛，这是因为对任意u1，有 而当p0时单调趋于0，故由狄利克雷判别法推知当p0时总是收敛的. 另一方面，由于 ，x[1，+）， 其中满足狄利克雷判别条件，是收敛的