固体物理第五晶体中电子能带理论3.pptVIP

例题 求简单立方晶体中，由孤立原子s态所形成的能带。 由于s态波函数是球对称的，因而Jsm 仅与 原子间距 有关，只要原子间距相等，重叠积分就相等。对于简立方 最近邻原子有6个，以 处原子为参考原子，6个最近邻 原子的坐标为： 对6个最近邻原子，Jsm具有相同的值，用J1 表示；Jss用J0 表示 得能量函数 为： 在简约布里渊区中心kx＝ky＝kz=0处， 能量有最小值， 称为能带底 在简约布里渊区边界kx， ky， kz= 处， 能量有最大值， 称为能带顶。 能带的宽度： 表示出固体中电子能带和孤立原子中电子能级的关系 分析： 原子能级分裂成能带 点阵常数为 的简单立方点阵 第一BZ就是边长为 的立方体， 正格子基矢： 倒格子基矢： 简立方的倒格子仍是简立方 体积为： (2)J前的数字，而数字的大小与最近邻格点的数目相关， 即晶体的配位数。 能带宽度由两个因素决定： (1)重叠积分J的大小； 因此，可以预料，波函数重叠程度越大，配位数越大， 则能带越宽，反之，能带越窄。 近邻原子的波函数重叠愈多， 的值愈大，能带将愈宽。由此可见：与原子内层电子所对应的能带较窄，而且不同电子态所对应的 和 是不同的。 讨论 1)上面讨论的是最简单的情况（简单晶格且非简并态电子），只适用于s态电子，一个原子能级 对应一个能带。 原子能级简并时(如：p态为三重简并,d态为五重简并等),或复式 格子时可以按类似方法计算能带，但情况更复杂。 2) 从上面的讨论中可看出，在N个原子相距较远时，每个原子才有相同 的原子能级 ，整个体系的单电子态是N重简并的。 当N个原子形成晶体时，由于最近邻原子波函数的交叠，N重简并解除， 单原子的能级展宽成能带，包含由N个不等价的k标记的扩展态。 3) 能带从原子能级演化而来，为区分能带，常用描述原子能级的量子数 标记，如：3s,3p,3d带等。当然这种描述对于波函数交叠较少的内层电子 较合适；外层电子的波函数，相互交叠较多，能带较宽，导致不同能带 间有所重叠，因而原子能级与能带之间不再好对应。 所以可以将 在波矢空间作傅里叶展开 我们已知在周期性势场中运动的波函数一定是布洛赫波函数，而布洛赫波函数在 空间具有周期性，即： 二、 万尼尔函数(Wannier function) 把展开系数中的 称为万尼尔函数 1.万尼尔函数 由布洛赫定理 且： 比较可得 (2)不同能带、不同格点的万尼尔函数是正交的，即 此式表明万尼尔函数仅依赖于 0 所以，万尼尔函数是以格点 为中心的波包，具有定域的特性； (1) 此函数是以格点 为中心的波包，因而具有定域的特性； 2.万尼尔(Wannier)函数的重要特征 万尼尔函数的特性表明， 是定域的波函数，即 远大于晶格常数时， 小到可以忽略。此时万尼尔函数 也近似代替孤立原子的波函数 所以，在紧束缚近似中，可以用万尼尔函数作为研究晶体中电子行为的另一个表象。 * * 　　 1930年布里渊在研究能带中电子的能量时，发现当电子几率波的波矢k越过倒格子矢量的中垂面的时候，电子的能量在界面上产生不连续的变化。 　　布里渊提出用倒格子矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从而更清晰地分析电子的能带。 　　要知道一个能带中有多少个量子态，必须求出在一个布里渊区中有多少允许的波矢k的取值 § 5.5 布里渊区(Brillouin Zone，BZ ) 布里渊区是晶格振动和能带理论中常用的物理概念。 Brillouin提出用倒易空间矢量的中垂面来划分波矢空间的区域。 定义： 作由倒格子原点出发的所有倒格矢 的垂直平分面，称为布拉格面。为这些平面所完全封闭的包含倒格子原点的最小空间就是第一布里渊区。 第二布里渊区是从第一布里渊区出发只穿过一个布拉格面就可以到达的点的集合； 第n 个布里渊区是从第n?1 个布里渊区出发只穿过一个布拉格面就可以到达的点的集合，第n 个布里渊区也可以定义为从倒格子原点出发，穿过n?1 个布拉格面能到达的点的集合。 点阵常数为 的二维正方点阵 各级BZ有相同的体积. 布拉格面：布里渊区的界面 1 Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3