高二数学第一章导数及其应用章末归纳总结 课件人教A版选修22.pptVIP

利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用． 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值． 否则，此根不是f(x)的极值点． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． [例4]　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)0的x的取值范围为(1,3)． (1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值； (2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值． [解析]　(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c ＝3a(x－1)(x－3)(a0)， ∴在(－∞，1)上f′(x)0，f(x)是减函数， 在(1,3)上f′(x)0，f(x)是增函数， 在(3，＋∞)上f′(x)0，f(x)是减函数． 因此f(x)在x0＝1处取极小值－4，在x＝3处取得极大值． (2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x ＝－3(x2－2mx＋3)， g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m. ①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9； ②当m2时，g(x)在[2,3]上是递减的， g(x)max＝g(2)＝12m－21； 已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)0(或f′(x)0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0或(f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路： 一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)0(或f′(x)0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意． [例5]　设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值． (1)求a、b的值； (2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围． (2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． 当x∈(0,1)时，f′(x)0； 当x∈(1,2)时，f′(x)0； 当x∈(2,3)时，f′(x)0. 所以当x＝1时，f(x)取极大值，f(1)＝5＋8c. 又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. 因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立， 所以9＋8cc2，解得c－1或c9. 因此c的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞). 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点． 1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法： (1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域． (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解． (3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值． 2．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． [例6]　某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤