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典例精析 题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，… ⑵ ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为， ⑵分开观察，正负号由确定，分子是偶数2，分母是，，， ，故数列的通项公式可写成 ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为 点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。 题型二 应用求数列通项 例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式. ⑴ ⑵ 解析：⑴当， 当 又不适合上式，故 (2) 所以 所以 又，可知为等差数列，公差为4 所以 也适合上式，故 点拨：本例的关键是应用求数列的通项，特别要注意验证的值是否满足的一般性通项公式。 三、利用递推关系求数列的通项 【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴ (2)， ⑶ 解析：⑴因为，所以 所以 …，…， 以上个式相加得 即： ⑵ ⑶方法一、 又 可化为 方法二：∵ =… 方法三： 点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。 数学门诊 已知是数列的前项和，且满足，其中，又，求数列的通项公式。 错解：当时，由已知得 又，所以 于是两式相减得， ，即 于是 所以两式相减得 所以 成等差数列，公差为6， 也成等差数列，公差为6，从而成等差数列，公差为6， 所以， 正解：当时，由已知得 又， 所以 于是，两式相减得：，即 于是，所以，又 又，所以 则时 4.设从这三个整数中取值的数列，若且则中有0的个数为11 解：设有个0，则由有+2(+…+ +50=107, . 所以在中有39个1或-1， 所以在有个。 5.已知数列满足 ， ⑴ ⑵证明： 解：(1)∵ ∴ . ⑵证明：由已知 有 6.已知数列中，试问　取何值时，取最大值？并求此最大值． 解：因为 当且仅当时， 所以当时 ，即 即 当时， 即 故当或8时，最大， 若数列满足：， ，则的值为（　Ｂ　） 解：， 由此猜想： 所以，选Ｂ 二、填空题 5．已知数列的前项和则 6．已知数列中，，,65 解: 7．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是 解：构造函数 由函数性质可知，函数在上递减，且 函数在上递增且 三、解答题 8．已知中，，前项和与的关系是，求 解：由得 9．在数列中，（ ）为前项和.⑴求证：是以3为周期的周期函数 ⑵求 10．设数列的前项和为，点， （）均在函数的图像上，⑴求数列的通项公式 ⑵设是数列的前前项和，求使得 对所有都成立的最小正整数。 解：⑴依题意得： ⑵由⑴得： 成立， 当且仅当 故满足要求的 4．计算机执行以下程序： ⑴初始值 ⑵ ⑶ ⑷，则进行⑸，否则从⑵继续进行 ⑸打印 ⑹停止 那么，语句⑸打印出的数值为89 解：由题意知，程序每执行一次所得的值形成一个数列是等差数列，且首项为5，公差为2，相应的值恰为该数列的前项和，根据题意得： 解得 所以 5．设，分别为等差数列与的前 项和 解： 典例精析 一、等差数列的判定与基本运算 例1：⑴已知数列前项和 ①求证：为等差数列；②记数列 的前项和为，求 的表达式。 ⑵数列中，是前项和，当时，①求证：是等差数列， ②设，求的前项和 解：⑴：①证明：=1时，， 当时， 也适合该式，∴ （） ②的表达式为： ⑵： ①证明：当时， 所以是以为首项，2为公差的等差数列。 ②：由①得 所以 所以 点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。 二、公式的应用 例2：设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为 ①若，求数列的通项公式 ②若，求所有可能的数列的通项公式 解：① 所以数列的通项公式是： ② 由①+②得 所以=11或=12 故所有可能的数的通项公式是： （） 点拨：准确灵活运用等差数列的通项公式及前项和公式，提高运算能力。 三、性质的应用 例3：已知等差数列中，公差0前项和为，且满足：， ①求数列的通项公式； ②设，一个新数列，若也是等差数列，求非零常数； ③求 （）的最大值 解：为等差数列，=14 ∴数列的通项公式为 ②由①知： 因为为等差数列，所以成等差数列，所以 故所求非零常数 ③的最大值： 点拨：①利用等差数列的“等和性”求出，，从而求出及通项公式； ②先求出的