电类高等数学电子教案第章 导数应用习题详解.docVIP

第五章 导数应用 练习题5.1 1．求函数的单调区间. 解：函数的定义域为 令得， 列表讨论如下： 所以，函数的单调增加区间为和；单调减少区间为 2．求函数的单调区间. 解：函数的定义域为 令得， 不存在时，（舍去） 列表讨论如下： 所以，函数的单调增加区间为；单调减少区间为． 练习题5.2 1．下列极限是否存在?能否使用罗比塔法则求这些极限? （1）； （2）； （3）. 解：（1）存在，极限等于0，不能使用罗比塔法则； （2）存在，极限等于-1，不能使用罗比塔法则； （3）存在，极限等于-1，不能使用罗比塔法则. 2．求下列函数的极限 （1）； （2）； （3）； （4） 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 练习题5.3 求下列函数的极值: （1）； （2）. 解：（1）函数的定义域为 令得， 列表讨论如下： 所以， 函数的单调增加区间为；单调减少区间为和，当时，函数取得极小值，极小值为． 解：（2）函数的定义域为， 不存在时， 当时，函数单调增加，当时， 函数单调减少，所以当时，函数取极大值，极大值为. 练习题5.4 1．求函数在上的最大值. 解：， 令，得，当不存在时，， 当时，，当时，，当时，， 所以在区间上，当时，函数取最大值． 2．横截面为矩形的梁，它的强度与矩形的宽及高的平方的乘积成正比，现在要把直径为的圆柱形木材加工成横截面为矩形的梁，若要使梁有最大的强度，问矩形的高与宽之比就应是多少？（如图5.10） 解：设梁的横截面的宽为，高为，梁的强度为，则 　　　（为系数比例） 因为（），代入上式得 要求梁的最大强度，也就是求上述函数的最大值，所以 　 令，得，（舍去） 由于梁的最大强度一定存在，且在内取得，所以当，时，函数取得最大值，即时，梁的强度最大． 练习题5.5 求函数的凹向及拐点. 解：函数的定义域为， ； . 令，得，. 这两个点将函数的定义域分成三个子区间、、，列表讨论如下: 所以函数在和内是下凹的，在内是上凹的，拐点为，. 练习题5.6 作函数的图形. 解：（1）函数的定义域是； （2）函数是非奇非偶函数； （3）函数的单调性和拐点： ， 令，得驻点，不存在时，（舍去）； 令，得 列表讨论如下： （4）渐近线 因为 所以，曲线的水平渐近线 同理，曲线的垂直渐近线为，曲线无斜渐近线 （5）所求作图形如下图所示. 习题五 1．求下列极限： （1）；　　　　 （2）； （3）；　　　　　　　　（4）； （5）；　　　　　　　　（6）． 解：（1）； （2）； （3） （4）； （5）； （6） 2．讨论下列函数的单调区间： （1）；　　　　（2）． 解：（1）函数的定义域为 令，得驻点 时，，此时函数单调减少；时，，此时函数单调增加，即函数的单调增加区间为，单调减少区间为 解：（2）函数的定义域为 令，得驻点，不存在时，得（舍去） 当时，，函数单调减少；当时，，函数单调增加.即单调增加区间为，单调减少区间为. 3．求函数的极值． 解：函数的定义域为： ，不存在时， 当时，，函数单调增加；当时，，函数单调减少，所以当时，函数取得极大值1. 4．求函数的极值和单调区间． 解：函数的定义域为 ，不存在时， 当时，，函数单调增加；当时，，函数单调增加 所以函数无极值. 5．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值： （1）； （2）． 解：（1） 令，得驻点(舍去) ，， 所以，当时，函数取得最小值-4，当时，函数取得最大值. 解：（2），令，得驻点 ，， 所以，当或时，函数取得最小值0，时，函数取得最大值. 6．某矿务局拟从A处掘进一巷道至C处， 设AB长为600m，BC长为200m，若沿水平AB方向掘进费用每米为5元，水平以下是岩石，掘进费用 每米为13元（如图5.17）， 问怎样掘法使费用最省？ 最省要多少元？ 解：设，则，总费用为，则 令，得，唯一驻点，此时函数最最小值， 即沿水平方向掘，至点，然后再从到，最小费用为5400元. 7．要铺设一石油管道，将石油从炼油厂输送到石油罐装点，如图5.18，炼油厂附近有条宽2.5km的河，罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10km处． 如果在水中铺设管道的费用为6万元/公里，在河边铺 设管道的费用为4万元/公里．试在河边找一点P，使管 道铺设费最低． 解：设P点离炼油厂公里，费用为，则根据题意有 令，得，唯一驻点，此时函数最小值， 万元. 即离炼油厂约7.76公里时，费用最小值为51.2万元. 8．如图5.19，某吊车的身高GE为1.5m，吊臂ED长为15m， 现要把一个6m宽、2m高的屋架，从水平地面吊到6m高的柱 子上去，问能否吊得