材料力学 教学课件 ppt 作者 原方 原方材料力学第六章弯曲变形.ppt

单辉祖：材料力学Ⅰ * 第6章 弯曲变形 §6-1 梁的挠度和转角 §6-2 挠曲线近似微分方程 §6-3 积分法求弯曲变形 §6-4 叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 梁的刚度条件与合理刚度设计 §6-7 弯曲应变能 §6-1 梁的挠度和转角 吊车梁 叠板弹簧变形图 一、工程中的弯曲变形问题 弯曲变形的计算，除直接用于解决梁的刚度问题外，还经常用于求解超静定问题和振动问题。 性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。 二、挠曲线及挠曲线方程 1、挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁的轴线由原来的直线变成了一条曲线，这条曲线称为挠曲线。 2、挠曲线方程：挠曲线上各点的纵向坐标ｗ是随着截面位置ｘ而变化的。 挠曲线方程： （2）转角? ：横截面绕中性轴转过的角度。用“? ” 表示。 q q 三、挠度和转角 (1) 挠度w：截面形心在w轴方向的位移。 向下为正 q （3）转角方程 ：梁上任一截面的转角? 就等于挠曲线在该截面处的切线与x轴所夹的角。 顺时针为正 一、曲率与弯矩的关系： EI M = r 1 二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式) ……（2） →→ 三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得 ? …… （ 1 ） §6-2 挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程——忽略了“Fs”以及 对变形的影响 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。 结论：挠曲线近似微分方程—— §6-3 积分法求弯曲变形 步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M(x) 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 右 左 C C q q = 连续条件： 右 左 C C y y = 边界条件： F （1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）固定铰支座处、可动铰支座处：挠度等于零。 （3）在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。 4、确定挠曲线方程和转角方程 。 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。 例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。 解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程 b) 写出微分方程并积分 c) 应用位移边界条件求积分常数 F x d) 确定挠曲线、转角方程 e) 自由端的挠度及转角 x=0, w = 0 ; θ =0 w L F C 解：a)建立坐标系并写出弯矩方程 b)写出微分方程并积分 例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数） 左侧段（0≤x1≤a）： 右侧段（a≤x2≤L）： e) 跨中点挠度及两端端截面的转角 d) 确定挠曲线和转角方程 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数 x = 0 , w = 0 ; x = L , w = 0 . x1 = x2 = a ，w1 = w2 ；w1 = w2 两端支座处的转角—— 讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。 左 侧 段： 右 侧 段： 最大挠度一定在左侧段 F C 当 a＞b 时—— 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段 2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。 F C q L A B x C 解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程 b)写出微分方程并积分 c)应用位移边界条件求积分常数 d)确定挠曲线和转角方程 e)最大挠度及最大转角 ql/2 ql/2 x=0 , w=0 ; x=L , w=0 . 例：求分布载荷简支的最大挠度  和最大转角 ( EI = 常数 ） §6-4 叠加法求弯曲变形 在线弹性和小变形范围内，梁的挠度和转角均与载荷成线性关系。当梁上有若干载荷作用时，梁某个截面处的挠度和转角就等于每个载荷单独作用下该截面挠度和转角的代数和。这就是计算梁位移的叠加原理。 在简单载荷作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在附录IV中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂载荷情况下梁指定截面的挠度和转角。 梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。 弯矩： 弯矩的叠加原理---- 梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。 一、叠加法（荷载分解） （1）梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；（2）叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。 1、前提条件：弹性、小变形。 2、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单