函数的奇偶性(左学红老师).docVIP

§2.5函数的奇偶性 教学目的：理解函数奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性 重 点：能判断函数奇偶性 难 点：具备奇偶性的必要条件（定义域关于原点对称） 过 程： 基础知识: 1. 定义：①对于函数y=f(x)的定义域内任一x，有f(x)=f(-x)则称y=f(x)是 函数。 [间接说明，定义域关于（0，0）对称]。 ②对于函数y=f(x)，有f(x)=-f(-x).则称y=f(x)为 函数[间接说明，定义域关于（0，0）对称]。 总结：函数具备奇偶性的必要条件是：定义域关于（0，0）对称。 2. 变形式：若f(-x) +f(x)=0等价于(f(x)≠0) 则称y= f(x)为 函数； 若f(-x)-f(x)=0等价于（f(x)≠0） 则称y=f(x)为 函数。 3. 函数图像：奇函数的图像关于原点对称，并且关于（0，0）对称的两个区间上单调性相 ；偶函数的图像关于y轴对称，并且关于（0，0）对称的两个区间上单调性相 。 4. 推广：（复合函数的奇偶性） 若y=f（x+a）为偶函数，则有f（x+a）= f（-x+a），关于x=a对称；若y=f（x+a）为奇函数，则有f（-x+a）= -f（x+a）关于（a，0）对称。 5. 性质：. 常用结论. ①f(x)、g(x)是分别在D1、D2的奇函数，那么在D1∩D2上有f(x)±g(x)=奇函数，奇*偶=奇，奇*奇=偶，偶±偶=偶，偶*偶=偶，偶*奇=奇（两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数；奇函数与偶函数的积商都是奇函数）。 ②奇函数的反函数仍是奇函数。 ③对于复合函数F(x)=f[g(x)]，若g(x)为偶函数，则F(x)为偶函数； 若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)是 函数； 若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)是 函数。 ④f(x)既是奇函数又是偶函数则f(x)=0 例f(x)=lg（tan xcot x ） ⑤f(x)=[f(x)+ f(-x)]+ [f(x)- f(-x)] 任意函数=奇函数+偶函数。 ⑥若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|) 二、典例精析 1. 判断奇偶性：①f(x)=|x+2|+|x-2| ②f(x)= ③f(x)= ⑤f(x)= ⑥y=lg ⑦y=()x ⑧y=lg（） ⑨y=lg ⑩y=lg（ ） 2. 奇偶性的应用 ①f(x)=,若f(a)=b，求证f(-a)=-b ②，且f(-2)=10,求证f(2)=-26 三、小结 四、作业：1. f(x)在（0，2）上单调增，函数f(x+2)为偶函数，试比较f(1)、f()、f()的大小。注：f(-x+2)=f(x+2)对称轴x=2 2. 函数的图象关于 （ ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线 对称 3.为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求f(x)的值域. 4.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在[0,2]上单调减，若，求实数m的取值范围 .(利用) 5.．判断下列函数的奇偶性： ①,②,③ 6.. g(x)是奇函数，，且，求证：f(3)=3.