【必威体育精装版资料】二次函数根的分布和最值.docVIP

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程根的分布情况 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 根的分布练习题 例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 解：由 即 ，从而得即为所求的范围。 例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 解：由 或即为所求的范围。 例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。 解：由 即 即为所求的范围。 例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。 （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大） 1．二次函数及图象 设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点． 当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根． 观察图象不难知道． 图像为 观察图象不难知道△=0，a＞0　, △=0，a＜0 当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为 观察图象不难知道． a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R． a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R． 2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种： （1）应用求根公式； （2）应用根与系数关系； （3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性． 就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法． 设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况： ②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑 三、好题解给你 (1)? 预习题 1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问， 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？ 由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？ 解：经配方有y＝2(x-2)2-7 ∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边， ∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此 ymax=f(4)＝1． ymin＝f(3)＝-5． 2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？ 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？ 由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值． 解：经配方有y＝2(x-a)2+3． 对称轴为x=a． 当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随