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关于2的补码 作者： 阮一峰 日期： 2009年8月 5日 问一个基本的问题。 负数在计算机中如何表示？ 举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？ 很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就而-8则 但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Twos Complement）表示负数。 什么是2的补码？ 它是一种数值的转换方法，要分二步完成： 第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如相反值就 第二步，将上一步得到的值加1变 所以2的补码就也就是说，-8在计算机（8位机）中就是示。 不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？ 昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，现在总算彻底搞明白了。 2的补码的好处 首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。 2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。 还是以-8作为例子。 假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，另一种是2的补码表示法，请问哪一种表示法在加法运算中更方便？ 随便写一个计算式，16 + (-8) = ? 16的二进制表示是所以用直觉表示法，加法就要写成： －－－－－－－－－可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。 现在，再来看2的补码表示法。 －－－－－－－－－１００００１０００ 可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。 2的补码的本质 在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。 要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。 已知8的二进制-8就可以用下面的式子求出： －－－－－－－－－ 因被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。 所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成： １００００００００－－－－－－－－－进一步观察，可以发现100000000 =+ 1，所以上面的式子可以拆成两个： －－－－－－－－－－－－－－－－－－2的补码的两个转换步骤就是这么来的。 为什么正数加法适用于2的补码？ 实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。 Y的2的补码等于Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于： X + Y) + 1 我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + Y) + 1 接下来，分成两种情况讨论。 第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以， Z = -(Z-1)] = -(X + Y) + 1-1)] = X