二次函数周长最小问题2.docVIP

周 长 最 小 问 题 基本解题方法： 1.如图，已知抛物线y＝ax 2－x＋c经过点－和－． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点Pm，m与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小． 解 即 2分 ∴ 4分 ∴抛物线的解析式为：y＝x 2－4x－6 5分 （2）把y＝x 2－4x－6配方，得y＝(x－2)2－10 ∴对称轴方程为x＝2 7分 顶点坐标（2，－10） 10分 （3）由点Pm，mm＝m 2－4m－6 12分 即m 2－5m－6＝0 ∴m1＝6或m2＝－1（舍去） 13分 ∴P（6，P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x＝2对称 ∴Q（－2，P、Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M能够使得△QMA的周长最小 ∴ ∴直线AP的解析式为：y＝2x－6 18分 设点M（2，n） 则有n＝2×2－6＝－2 19分 此时点M（2，－2）能够使得△QMA的周长最小 20分 2.如图，在平面直角坐标系中，直线x－与x轴交于点A，与轴交于点C，抛物线x＋c（a≠0）经过点A、C，与x轴交于另一点B （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； P是抛物线上点，△ABP为直角三角形，点P的坐标； 在直线AC上是否存在点使得△的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 直线x－与x轴交于点A，与轴交于CA（－1，0），C（0，－） ∵点A，C都在抛物线上 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式x 2－x－＝( x－1)2－∴顶点的坐标） （2）令x 2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3 ∴B（3，0） ∴AB 2＝( 1＋3)2＝16，AC 2＝1 2＋( )2＝4，BC 2＝3 2＋( )2＝12 ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC是直角三角形∴P1（0，－） 由抛物线的对称性可知P2的纵坐标为－，代入抛物线的解析式求得：P2（2，－） （3）存在．延长BC到点B′，使B′C＝BC，连接B′D交直线AC于点Q，则Q点就是所求的点 过点B′ 作B′H⊥x轴于H 在Rt△BOC中，BC＝＝， ∴BC＝2OC∴∠OBC＝30° ∴B′H＝BB′＝BC＝，BH＝B′H＝6，′（－3，－）设直线′D的解析式为y＝kx＋b，则： 解得联立 解得∴Q（，－）故在直线AC上存在点使得△的周长最小，点的坐标，－） 3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点． （Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小E的坐标； （Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小E、F的坐标． 解：（Ⅰ）如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′ 与x轴交于点E，DE 若在边OA上任取点E′（与点E不重合），连接CE′、DE′、D′E′ 由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE 可知△CDE的周长最小D′O＝DO＝2，D′B＝6 ∵OE∥BC，D′OE∽Rt△D′BC，＝ ∴OE＝·BC＝×3＝1 ∴点E的坐标作点D关于x轴的对称点D′，D′G与x轴点EEA上截取EF＝2，则四边形GEFC为平行四边形，得GE＝CF 又DC、EF的周长最小，D′OE∽Rt△D′BG，＝ ∴OE＝·BG＝·(BC－CG)＝×1＝ ∴OF＝OE＋EF＝＋2＝ ∴点E的坐标，0），点的坐标，0） 10分 3.如图，抛物线4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小