姚绍义大学数学习题选解下册.docVIP

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2018-06-21 发布于上海
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姚绍义大学数学习题选解下册.doc

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综合测验题P141T10T11 T10. 求z=x2+y2在条件下的极值. 解I 从解出y=b, 带入得 z=x2+b2. 从 zx= 2x-2b2 =0解出驻点 x=, 它显然也是极小值点。(Z有下界无上界。) 此时y=. z=. 解II Obj. z=x2+y2 Sjt. 构造辅助函数 F=x2+y2-λ 从 Fx= 2x-λ =0 Fy= 2y-λ =0 解得λ=2ax=2by, λ=, 驻点 x=,y=. 它显然也是最小值点。(Z有下界无上界。) 此时z=. T11. 从斜边之长为l的一切直角三角形中, 求周长最大的直角三角形. 解: 设直角三角形直角边长x,y, 斜边长z. 题目转化为优化问题 Obj. s=x+y+l Sjt. x2+y2=l2 构造辅助函数 F=x+y-λ(x2+y2) 从 Fx= 1-2λ x =0 Fy= 1-2λy =0 x2+y2=l2 解得λ==, λ=, 驻点 x=y=. S=(+1)l. 它显然也是最大值点。(s有下界有上界。2l(+1)l ) 此时z=. 综合测验题P186T5-8 5．, 其中Ω：x2+y2+z2≤R2, x2+y2+z2≤2Rz. 解: 略. ？ 6. 求x=0,y=0, x+y=1,z=0, x2+y2=6-z所围成的立体Ω体积. 解: 立体体积=== ===3-1/6=17/6. 7. 同心圆环内外半径分别为a,b, 其密度与到圆心的距离成反比，比例系数为b. 求其质量. 解: 所求其质量M=, 其中D: . 利用极坐标计算, M== = 2πb(b-a). 8. 半圆薄片直径上接一个矩形，密度均匀，为了使重心在圆心，矩形的另一边是多长？解: 设圆半径R, 矩形的另一边是h. 由于重心yc=0, 所以 =0, 即 + =0. 即 +=0， 2R3/3 -2Rh2/2=0， h= 综合测验题PT12 解: = = = = = = = ln|tan|+c. ∵tan== = = = = = = = = ∴ = ln|x| - ln|| + c 检验: 1/x- = 1/x-= = = = = = =