2018年春中考数学《二次函数：切线问题》针对演练.docVIP

第二部分　攻克题型得高分 二次函数综合题（切线问题） 1. 已知，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)求证：直线DE是△ACD的外接圆的切线． 2. 在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(3，5)． (1)求过点A，C的直线的解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式； (2)求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标； (3)在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在，请求出AQ的解析式． 答案 1. (1)解：∵抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋3，对称轴为直线x＝1， ∴x＝－＝1，即b＝－2a， ∵点A(3，0)在抛物线上， ∴9a＋3b＋3＝0， 联立得，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 当x＝1时，y＝－1＋2＋3＝4， ∴顶点D的坐标为(1，4)； (2)证明：∵点C是抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴的交点， ∴点C的坐标为(0，3)， ∴AC＝3，CD＝，AD＝2， ∴AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴AD是△ACD外接圆的直径． 如解图，过点E作EF⊥CD于点F， 第1题解图 ∵tan∠ECD＝＝＝1，∴∠ECD＝45°，则∴EF＝CF＝CE＝， ∵CD＝， ∴DF＝CD－CF＝－＝， ∴tan∠EDF＝＝＝， ∵tan∠CAD＝＝＝ ＝tan∠CDE， ∴∠CAD＝∠CDE， ∴∠CDE＋∠CDA＝∠CDA＋∠CAD＝90°， ∴DE是△ADC的外接圆的切线． 2. 解：(1)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把A(－2，0)，C(3，5)分别代入，得 ，解得， ∴直线AC的解析式为y＝x＋2， ∵抛物线过A(－2，0)，B(2，0)两点， ∴设抛物线的解析式为 y＝a(x＋2)(x－2)， 将C(3，5)代入，得 5a＝5，解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝(x＋2)(x－2)，即y＝x2－4； (2)由抛物线的解析式y＝x2－4可得，顶点D(0，－4)， 则OD＝4， ∵A(－2，0)，B(2，0)， ∴y轴垂直平分线段AB， ∴点P在y轴上， 如解图，连接AP，设OP＝a，则PD＝AP＝4－a， 在Rt△AOP中，由勾股定理得OA2＋OP2＝AP2，即22＋a2＝(4－a)2，解得a＝，∴P(0，－)； 第2题解图 (3)存在．理由如下： 如解图，过点A作AQ⊥AP交抛物线于点Q，连接PQ，设Q(x，x2－4)， ∵A(－2，0)，由(2)知P(0，－)， ∴AP＝＝， AQ＝＝， PQ＝＝， 在Rt△APQ中，由勾股定理得AP2＋AQ2＝PQ2， 即＋x4－7x2＋4x＋20＝x4－4x2＋， 整理得3x2－4x－20＝0， 解得x1＝－2(不合题意，舍去)，x2＝， 当x＝时，x2－4＝，∴Q点坐标为(，)， 设直线AQ的解析式为y＝mx＋n，把A(－2，0)，Q(，)分别代入，得，解得， 故直线AQ的解析式为y＝x＋， ∴抛物线上存在点Q(，)，使AQ与⊙P相切，直线AQ解析式为y＝x＋. 5