常见抽象函数及作业.docVIP

常见抽象函数的题型 常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) [或] 指数函数 f(x)=ax (a0且a≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [ 对数函数 f(x)=logax (a0且a≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [ 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx 二．若，则具有周期性； 若，则具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性”。 三．周期的一些结论： 1、( ) 的周期为，()也是函数的周期 2、 的周期为 3、 的周期为 4、 的周期为 5、 的周期为 四关于对称的结论 1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。的解析式. 例．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数， 在区间上，， 求f（1.5）的值 求时的解析式. 解：（1） （2）当，即， 又是以2为周期的周期函数，于是当，即时， 二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验; 二、求值问题 例3. 已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值。 解：取，得 因为，所以 又取 得 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 练习： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （） 2. 。2000 . ( ,原式=16) 3、对任意整数函数满足：，若，则 C A.-1 B.1 C. 19 D. 43 4.（1996年高考题）设是上的奇函数，当时，，则等于（-0.5） （A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 三、奇偶性问题 例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。 解：取得：，所以 又取得：，所以 再取则，即 因为为非零函数，所以为偶函数。 例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立， 判断函数的奇偶性. 解：由的周期为4，得，由得 ，故为偶函数. 练习判断函数的奇偶性. 五、单调性问题 例11、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时， （1）f(x)在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式 解：（1）设，则 ∵，∴，∴，即，∴ ∴在上是增函数 （2），∴， ∵是偶函数∴不等式可化为， 又∵函数在上是增函数， ∴0≠，解得： 例：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。 解析：又偶函数的性质知道：在上减， 而，， 所以由得，解得。 （设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整） 七、周期性与对称性问题 确定函数图象与轴交点的个数 例7.设函数对任意实数满足， 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间上， 故图象与轴至少有2个交点. 而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（2）＝4，当时，。 （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若，求a的取值范围。 分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。 解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴ f（－x）＝f（x），f（x