3-3随机变量的函数及分布.pptVIP

§3 随机变量的函数及其分布 二、单个随机变量的函数的分布密度 伽玛分布的可加性 ?2 分布的可加性 随机向量的变换 增补变量法 三、随机向量的函数的分布律 若 ，而 的密度函数为 ，则由前面的讨论可得 [和的分布] 设X和Y的联合密度为 f (x,y), 求Z=X+Y的密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z) 这里积分区域D={(x, y): x+y z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得 变量代换 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式 . 下面用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度。 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度 求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式 也即 解法一（图形定限法） 暂时固定 故 当 或 时 , 当 时 , 当 时 , 于是 解法二 （不等式组定限法） 考虑被积函数取非零值的区域 令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个 分界点 0，1，2 当 或 时不等式组 无解 当 时不等式组 解为 当 时不等式组 解为 [例5] 设X与Y相互独立,它们的概率密度分别为: 试求: Z=X+Y的概率密度 当z0时, 当0≤z1时, x y 0 z 1 FZ(z)=0 ?fZ(z)=0 =z?1+e?z 解法三 从分布函数出发 当z≥1时, 0 1 z x y 综合,得: =1+e?z ?e1?z ?fZ(z)=FZ?(z)=(e?1)e?z 平方和的分布: Z = X 2+Y 2 设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y)， 则 例如，X ~ N(0,1), Y ~ N(0,1), X ,Y 相 互独立， Z = X 2+Y 2 , 则 自由度为2 的? 2分布 称为 正态随机变量的结论 若X ,Y 相互独立, 则 若(X ,Y ) 则 若 相互独立 则 推广 若 X ? Ga(?1, ?)，Y ? Ga(?2, ?) ， 注意： X ?Y 不服从 Ga(?1??2, ? ). 且独立， 则 Z = X + Y ? Ga(?1+?2, ? ). 若 X ? ?2( n1 )，Y ? ?2( n2 ) ， 注意： (1) X ?Y 不服从 ?2 分布. 且独立， 则 Z = X + Y ? ?2( n1+n2). (2) 若 Xi ? N(0, 1)，且独立，则 Z = ? ?2( n ). [商的分布] 若 ，而 的密度函数为 则 x2 G1 0 x1 G2 ? 的密度函数为 例 已知( X, Y ) 的联合分布函数为 求Z = X / Y 的 p.d.f. 解 例4 三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数. FM(z)=P(Mz) =P(Xz,Yz) 由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为: =P(Xz)P(Yz) FM(z) 1. M = max(X,Y) 的分布函数 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] =1-P(X≥z,Y ≥ z) FN(z)=P(Nz) =1-