2017学年高中数学人教A版修4教材习题点拨：2.4平面向量的数量积Word版含解析.docVIP

教材习题点拨 练习 1．解：p·q＝|p||q|cos 60° ＝8×6×＝24. 2．解：与的夹角为∠A. 当a·b0时，cos A0， 所以∠A为钝角，△ABC是钝角三角形； 当a·b＝0时，∠A＝90°，△ABC为直角三角形． 3．解： 　　 |a|cos 45°＝3 |a|cos 90°＝0 |a|cos 135°＝－3 练习 1．解：|a|＝＝＝5， |b|＝＝， a·b＝－3×5＋4×2＝－7. 2．解：a·b＝2×(－2)＋3×4＝8， (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝22＋32－[(－2)2＋42]＝－7， a·(b＋c)＝(2，3)·(－3，2) ＝2×(－3)＋3×2＝0， (a＋b)2＝[2＋(－2)]2＋(3＋4)2＝49. 3．解：a·b＝3×5＋2×(－7)＝1. ∴cos θ＝ ＝ ＝≈0.032 2. 由计算器计算得θ≈88°. 习题2.4 A组 1．解：a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×cos 150°＝3×4×＝－6. (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝|a|2＋2|a||b|cos 150°＋|b|2 ＝16＋9－12＝25－12. |a＋b|＝＝ ＝. 2．解：如图，·＝||||cos C ＝8×5×cos 60°＝20. (第2题图) 而·＝－·＝－20. 3．解：|a＋b|＝，|a－b|＝. 4．解：设a与b的夹角为θ. (1)当λ＝0时，等式显然成立． (2)当λ0时，∵λa与b，a与λb的夹角都为θ， ∴(λa)·b＝|λa||b|cos θ ＝λ|a||b|cos θ，λ(a·b) ＝λ|a||b|cos θ， a·(λb)＝|a||λb|cos θ＝λ|a||b|cos θ. ∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)当λ0时，∵λa与b，a与λb的夹角都为180°－θ， ∴(λa)·b＝|λa||b|cos(180°－θ) ＝－|λ||a||b|cos θ， λ(a·b)＝λ|a||b|cos θ ＝－|λ||a||b|cos θ， a·(λb)＝|a||λb|cos(180°－θ) ＝－|λ||a||b|cos θ， ∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 5．解：(1)由＝(5，2)－(－1，－4)＝(6，6)，＝(3，4)－(5，2)＝(－2，2)， ·＝6×(－2)＋6×2＝0， 所以⊥. 所以△ABC是直角三角形． (2)由＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，＝(19，4)－(－2，－3)＝(21，7)，·＝21×1＋7×(－3)＝0， 所以⊥，△ABC是直角三角形． (3)由＝(5，2)－(2，5)＝(3，－3)，＝(10，7)－(5，2)＝(5，5)， ·＝3×5＋(－3)×5＝0， 所以⊥，△ABC是直角三角形． 6．解：cos θ＝＝＝， 所以θ＝π. 7．解：因为(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝61，所以a·b＝－6. 所以cos θ＝＝－. 所以θ＝π. 8．解：因为|a＋b|＝16， 所以a2＋2a·b＋b2＝162. 所以a·b＝＝46. 所以cos θ＝＝＝. 所以θ≈55°. 9．证明：由＝(5，－2)－(1，0)＝(4，－2)，＝(8，4)－(4，6)＝(4，－2)， ∴＝.① ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵＝(8，4)－(5，－2)＝(3，6)， ·＝4×3＋(－2)×6＝0， ∴⊥.② 由①②可知，四边形ABCD是矩形． 10．解：a＝ 或a＝. 11．解：或. B组 1．证明：(1)a·b＝a·c?a·b－a·c＝0?a·(b－c)＝0?a⊥(b－c)． (2)a⊥(b－c)?a·(b－c)＝0?a·b－a·c＝0?a·b＝a·c. ∴a·b＝a·c?a⊥(b－c)． 2．解：如图所示， (第2题图) ∠AOB可看作向量与的夹角，常采用向量的数量积来求． 由·＝||||cos ∠AOB， ||＝||＝1， ∴cos ∠AOB＝ ＝cos αcos β＋sin αsin β， 即cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β. 3．证法一：利用作差法． 由(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2 ＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2abcd－b2d2 ＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 证法二：利用向量法证明，分别把(a，b)与(c，d)看作两向量的坐标． 设＝(a，b)，＝(c，d)，与的夹角为θ， 则·＝ac＋bd. 又由数量积的定义·＝||||cos θ，即ac＋bd＝cos θ， 两边平方，得 (ac＋bd)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)cos