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类比推理题分类例析湖南祁东育贤中学 周友良 421600湖南祁东洪桥镇一中 李友生 421600类比推理题，其特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性，猜测它们之间可能具有其它一些相同或相似的属性的思维方法。这类试题是以类比思维为轴心，与数学方法、数学思想和数学基础知识相结合，着重考查学生的探究能力、创造能力、推理能力，对考生的能力和素质的要求比较高。由于题意新颖，背景独特，在解答时有一定困难。以下介绍几种类比题的题型和解法。数列中的类比推理例1.在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是： 等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且则）； 等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且则）. 由此，猜测本题的答案为：事实上，对等差数列，如果，则. 所以有：）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立. 评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列而得到等比数列的新的一般性的结论。例2.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛a｝等和数列，且，公和为5。那么的值为_______________，这个数列前n项和的计算公式为_______________。分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。解：∵｛a｝是等和数列，，公和为5，∴，则，，…知，（n∈N*）。∴＝3，数列｛a｝形如：2，3，2，3，2，3，……。∴。 评注:这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n为奇数时，。 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。例3.若数列是等差数列，则有数列类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列解析：由已知“等差数列前n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口。函数中的类比推理例4（2003年上海春招高考题）设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .分析 此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算： ，，，发现正好是一个定值， ，.评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的考查放在了突出的位置.本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。例5：已知为常数，且，问是不是周期函数，若是，求出周期，若不是说明理由。分析：由联想到，找到一个具体函数，=，而函数猜想是一个周期为的函数。这样方向明，思路清。证明：，例6 求函数y=的最大值和最小值.解:f(x)=令x=tan,则f(x)=f(=cos+-sin+=-(sin+当sin=时,=当sin=-1时, =-例7.解不等式 分析：由x及的特征联想到万能公式于是可构造三角函数，令x=tanα求解。解：令x=tanα则由已知得，从而∴∴tanα＞,∴x＞。三、排列组合中的类比推理例8 （2002年上海高考题）规定：，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广.求的值；组合数的两个性质（）是否都能推广到（是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，.分析 本题“新的规定（是正整数）”是组合数（是正整数，且）的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对相关的数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力.解：（1）根据新规定直接进行演算即可（2）性质①不能推广.反例：当时，有意义，但无意义.性质②能推广，且推广形式不变：是正整数）.证明如下：===（3）需要就与的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.当时，都是正整数，就是组合数，结论显然成立；当时，，结论也成立；当时， ，是正整数，故.综上所述，当，是正整数时，. 评注 本题以组合数为载体考查运用类比推理和分类讨论的数学思想方法，考查运算能力和创新思维能力。 例9 （200