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跃迁几率和费米黄金规则9
5.7跃迁几率和费米黄金规则 5.7跃迁几率和费米黄金规则 5.7跃迁几率和费米黄金规则 5.7跃迁几率和费米黄金规则 * * 利用上一节中含时微扰理论的一些基本公式,本节将具体计算几种情况下的跃迁几率。 常微扰的跃迁几率 假定微扰 是个常数,并且只在 时间间隔内起作用,则体系在 时处在 态,在 时跃迁到 态的几率振幅是 (5.7.1) (5.7.2) 为进一步简化(5.7.2)式,可用 函数的公式 (5.7.3) 当 时,可将(5.7.2)式化为 (5.7.4) 跃迁速率是 (5.7.5) 应该指出,对于实际问题;由于自由度一般不只一个,因此能级总有简并。能量相同并不意味着只有一个状态。特别是,如果跃迁的末态是散射态,它相应的能谱是连续谱。应该讨论的实际情况是,从能量为 的 态到能量处于 的所有状态的跃迁几率。为此,假定末态的态密度是 ,其中 表示除能量外的其他守恒量,则在能量间隔 ,简并态态间隔 的态密度是 ,相应的跃迁几率是 (5.7.4)(5.7.5)式表明,对于常微扰,经过足够长时间后,它的跃迁速率与时间无关。而且跃迁过程满足能量守恒定律,只在初态能量与末态能量相等时,跃迁几率才不为零。 不失普遍性,选 ,且 足够小时,(5.7.6)是近似为 (5.7.6) (5.7.7) (5.7.8) 5.7跃迁几率和费米黄金规则 (5.7.8)式称为费米黄金规则。它对讨论粒子的跃迁具有特别重要的意义。(5.7.8)式中态密度的具体形式取决于末态的具体形式。 周期微扰的跃迁几率 记微扰为 (5.7.9) 式中 是与时间无关的算符, 是周期性微扰的角频率。无微扰体系的薛定谔方程是 (5.7.10) 5.7跃迁几率和费米黄金规则 得 (5.7.11) 式中 跃迁几率是 (5.7.12) 5.7跃迁几率和费米黄金规则 式中 (5.7.13) (5.7.14) 由(5.7.12~14)式可见,当 时, 的分母和分子都为零,利用函数极限的洛必达法则,可知 随时间增加,因而当 时 起重要作用。同理当 时 起重要作用。这表明, 项在 时达到共振, 项在 时达到反共振。 5.7跃迁几率和费米黄金规则 另一方面,注意到函数 在 处有极大值,在 为零,而次极大的峰值远低于主极大的峰值。如图所示。从图中我们也可以看出当 时,函数 趋于 函数,这是只有在 处变成无穷大,其他各处均为零。 5.7跃迁几率和费米黄金规则 容易看出,满足(5.7.12)式的 具有以下性质 当 时,起主要作用的是 ,可略去 ;当 时,起主要作用的是 ,可略去 。在 外的其他区域, 近似为零。 在共振区 和反共振区 中, 可近似表示为 (5.7.15) 5.7跃迁几率和费米黄金规则 当 时, (5.7.16) 跃迁速率为 (5.7.17) 5.7跃迁几率和费米黄金规则 由(5.7.16)可见,跃迁过程满足能量守恒。当且尽当周期微扰的频率 满足 时,才能发生跃迁。而且,当微扰作用时间足够长后,跃迁速率与时间无关。 由(5.7.16)还可以得出 (5.7.18) 表示从 态跃迁到 态的几率, 相反。 比较(5.7.4)与(5.7.16)可见,当周期性微扰的频率趋于零时,(5.7.16)过渡到(5.7.4)。这一结果表示当频率趋于零时,周期微扰过渡到常微扰,这是很自然的。 5.7跃迁几率和费米黄金规则 非周期微扰的跃迁几率 若在时间间隔 内加入非周期微扰 ,将 作傅立叶展开 (5.7.19) (5.7.20)
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