微分中值定理导数的应用.docVIP

微分中值定理及导数的应用 导数是研究函数性态的重要工具，仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理的基础上，这些基本定理统称为“中值定理”. §4.1中值定理 教学目的与要求： 1.使学生深刻理解微分中值定理及分析意义与几何意义.掌握它们的证明方法. 2.通过学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析认证的能力，能用以证明某些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法. 3.使学生学会应用中值定理研究函数在某区间上的某些整体性质.如单调性，有界性等. 重点：中值定理 难点：用辅助函数解决有关中值问题. 课时:2学时 首先给出极值的概念. 定义1　设函数在区间上有定义.若，且存在的某邻域，有 　， 则称是函数的极大点（极小点），是函数的极大值（极小值）. 极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 极值点必在区间的内部（即不能是区间的端点），是函数的极值是与函数在的某个邻域上函数值比较而言的.因此极值是一个局部概念.函数在区间I上可能有很多的极大值（或极小值），但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）.若函数在区间的内部某点取最大值（最小值），则必是函数的极大点（极小点）. 1、费马(Fermat)定理　设函数在区间上有定义.若函数在可导且是的极值点，则＝0. 几何意义　若曲线上一点存在切线，且是它的极值点，则曲线在点的切线平行轴.如图4-1，是极大点，是极小点，曲线上的点与点的切线都平行轴. 证：不妨设是函数的极大点，即存在的某个邻域，有 　　　　　　　或　　　　. 当时，有　　　　　　　　　　　　　当时，有 　　　　　　　　　　　　. 由已知条件和极限的保号性，有 .　　　　　. 已知函数在可导，故有. 2.　罗尔(Rolle)定理　如果函数满足： 在闭区间上连续， 在开区间内可导， ， 则在内至少存在一点c，使得. 几何意义：在闭区间上有连续曲线，曲线上每一点都存在切线，在闭区间的两个端点与的函数值相等，即，则曲线上至少有一点，过该点的切线平行轴，如图4-2 分析：应用费马定理，只须证，函数在内至少存在一个极值点c. 证：　由于函数在连续，因而函数在取到最小值与最大值.下面分两种情况讨论： 如果，则（）， ，有，即内任意一点都可取作，使. 如果，由知与不可能同时一个是最大值一个是最小值，因此函数在开区间内至少存在一个极值点（如图4-2）根据费马定理，有. 3.　拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 在罗尔定理中，由于，使得弦平行于轴，因此点处的切线实际上平行于弦（图4-2）.现在如果取消这个条件，那么弦不一定平行于轴，此时，曲线弧上是否存在一个点，使曲线在处的切线平行于弦呢？以下介绍的拉格朗日中值定理回答了这个问题. 拉格朗日中值定理　如果函数满足： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导， 则在区间内至少存在一点，使 .　　　 　　　　　 （1） 几何意义:　如图4-3在中，，其中是割线与轴的交角，即是通过曲线上二点与的割线斜率. 拉格朗日定理的几何意义是：若闭区间上有一条连续曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点，过点的切线平行于割线. 分析：不难看到，罗尔定理是拉格朗日定理当的特殊情况.为了应用特殊的罗尔定理证明一般的拉格朗日定理，需要作一个辅助函数，使它在上连续，在内可导，且关键的是使.由平面解析几何知，通过二点与的割线方程（函数）是 . 而割线与曲线在、两点相交，因此，若设辅助函数是函数与割线的方程之差，即 . 不难验证，且辅助函数满足罗尔定理的其它两个条件. 证：作辅助函数 ， 则　　　　　　　　. 在闭区间上连续，在开区间内可导，于是由罗尔定理知，在内至少存在一点使 而　　　　　　　　　　　， 故有　　　　　　　　　　=0， 由此得　　　　　　　　　. (1)式也称为拉格朗日中值公式，当时，它同样成立. 设，，则公式(1)在区间或上就成为 （介于与之间） ．　　　　　　　 （2） 若记为，（2）又可写为 .　　　　　　　 （3） 现将（3）式与函数的微分作比较.只是函数增量的近似表达式，而在为有限时就是的精确表达式，因此拉格朗日中值定理也称为微分中值定理，是微分中最重要的定理之一，它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系，是应用导数的局部性去研究函数的整体性的重要数学工具. 推论1　如果在区间内的导数恒等于零，那么在内恒等于一个常数. 证：在区间内任意取两点，（设），则在上满足拉格朗日中值定理条件.故有 　， 由于，所以，即 . 由于，是在内任意取的两点，因此在区间内函数值总是相等的，这表明在区间内恒为一个常数. 推论2