弹性力学第7章 弹平面问题有限元法.pptVIP

第七章 弹性平面问题有限元法 §7.1 弹性平面问题的基本公式 §7.2 三节点三角形单元 §7.3 四节点矩形单元 §7.4 多节点单元的形函数 §7.5 用面积坐标表示三角形单元的形函数 §7.6 等效节点载荷 §7.1 弹性平面问题的基本公式 §7.2 三节点三角形单元 三角形单元小结 计算简单，计算量小。 单元剖分容易，可以适应复杂结构。 是常应变单元，必须剖分为较多单元。 §7.3 四节点矩形单元 §7.4 多节点单元的形函数 其中： 例：?＝0 x y P 1 4 2 3 2a 2a x y P 1 4 2 3 2a 2a x y P 1 4 2 3 2a 2a x y P 1 4 2 3 2a 2a 一、构造形函数的一般原则 单元内任意点（x , y）处位移（原点取在单元形心）： 1. 独立系数的个数必须与节点数相等; 2. u中必须包含常数和线性项: 3. 在单元的交界线两侧, 位移要连续; 4. 多项式选取应由低阶到高阶，尽量能形成完全式，并考虑到表达式对x，y坐标具有对称性。 * * 1. 弹性力学平面问题的基本未知量 位移: 应变: 应力: 2. 弹性力学平面问题的平衡方程 3. 弹性力学平面问题的几何方程 4. 弹性力学平面问题的本构方程 （物理方程） 1) 平面应力问题 2) 平面应变问题 力的边界条件： 位移边界条件: 5. 弹性力学平面问题的边界条件 lx , ly : 边界S? 的外法线的方向余弦。 一、 位移插值函数——形函数 单元节点位移： x y j m i 单元节点力： 单元内位移： ui vi uj vj um vm 代入三个节点值，得 解得 A ——三角形单元的面积， 其中： i，j，m 按逆时针转动 i j m 同理 Ni，Nj，Nm 即位移插值函数，亦称形函数 其中 单元位移列阵： 形函数矩阵： 形函数有如下性质： Ni 在节点 i 上值为1，在节点 j 和 m 上值为0； 单元任一点三个形函数之和为1； 在三角形单元的一条边上，如i j 上，形函数与第三个顶点m的坐标无关 形函数 Ni，Nj，Nm是单元内任意一点坐标的线性函数。单元内位移场的插值函数。 也就是说，单元的节点位移通过N(x,y)控制着单元的位移场的形态。所以N(x,y)称为单元的形态函数或形函数。 ? 二、单元刚度矩阵 应变： 应变矩阵： B:常数矩阵，常应变单元 应力（平面应力问题）： 利用虚功原理，得: 式中 r =i, j, m s =i, j, m 对于平面应变问题，t 取为1，将其中的E和?分别换为： 例 如图所示悬臂薄梁，端部受集中力P 作用，? = 0，求节点位移 u2 , v2 , u3 , v3 。 三、单元组集与求解 单元组集与求解同杆系结构有限元法一样。 x y P 1 4 2 3 ① ② a a 单元①：i-2，j-4，m-1 x y P 1 4 2 3 ① ② a a 单元② ：i-4，j-2，m-3 x y P 1 4 2 3 ① ② a a 对于具有矩形边界的平面问题，可以采用四节点矩形单元。单元中的应力可以变化，其精度比三节点三角单元要高一些。 一、形函数 x y 矩形单元的边平行于x，y 轴。 (x0 , y0 ) 1 4 2 3 2a 2b 引入坐标 ： h x x y (x0 , y0 ) 1 4 2 3 2a 2b (-1 , -1) h x 1 4 2 3 (1 , -1) (-1 , 1) (1 , 1) x , h 为 [ -1, 1] 内的无量纲坐标, 称自然坐标系 。 单元内任意点（x , y）处位移： 代入四个节点值，得 写成矩阵形式： (-1 , -1) h x 1 4 2 3 (1 , -1) (-1 , 1) (1 , 1) 解得： (-1 , -1) h x 1 4 2 3 (1 , -1) (-1 , 1) (1 , 1) 同理 其中： 统一写成： (-1 , -1) h x 1 4 2 3 (1 , -1) (-1 , 1) (1 , 1) 二、单元刚度矩阵 记单元节点位移列阵： 单元节点力列阵： 单元位移列阵： 应变： 式中 i=1, 2, 3, 4 应力（平面应力问题） ： 式中 i=1, 2, 3, 4 利用虚功原理，得单刚: *