实变函 有界变差函数.pptVIP

4.4 有界变差函数 目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉有界变差函数的定义，掌握其性质。 重点与难点：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质。 第四节 有界变差函数 基本内容： 一．单调函数可导性的推论 问题1：如果 fn 是单调函数序列，且 ，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， fn 的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 是否成立？ 第四节 有界变差函数 三．有界变差函数的定义 问题4：[a,b]上单调函数除了跳跃度总和不超过 ，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？ * * 第四节 微分与不定积分 第四节 有界变差函数 (1) Fubini定理 问题2：跳跃函数的导数是什么？ 推论1(Fubini) 设 是 上的单调增加有限函数序列，且 在 上处处收敛到有限函数 f ，则 。 证明：不妨设 ，否则可令 ，对 讨论就行了。记 ， 则 都是单调增加函数，故去掉一个零测集 E 后， 都存在。 第四节 有界变差函数 因 及 单调增加，故其导数均非负，从而当 时， 。 由此得，级数 几乎处处收敛。往证 。 第四节 有界变差函数 由于 ，对任意自然数 k，可取 ，使得 ， 但 也是单调增加函数，且 ，所以, 第四节 有界变差函数 这说明 也是由单调增加函数列 构成的收敛级数，将上面关于 的结论用到 上，得 第四节 有界变差函数 进而，级数的通项趋于0，即 ， 也即 。 证毕。 第四节 有界变差函数 证明：设 是 上的单调增加函数，注意对任意 ， ， 由推论1立得证明。 推论2 若 是 上跳跃函数，则 。 第四节 有界变差函数 第四节 有界变差函数 二．单调函数导数的可积性 问题3：从跳跃函数的导数几乎处处为零可以看出，单调函数的导数未必满足Newton-Leibniz公式，考虑更弱的问题：单调函数的导数是否R-可积？是否L-可积？其导函数的积分与该函数有没有什么关系？ 定理5 设 f 是 上的单调增加有限函数，那么 是 上的Lebesgue可积函数，且 。 第四节 有界变差函数 证明：将 f 扩充到 上，对任意 ，令 ，并令 ， 它是Riemann可积函数，而且 。 第四节 有界变差函数 注意到 第四节 有界变差函数 由Fatou引理得 证毕。 第四节 有界