江苏省如皋中学2010届高三考前导最后一卷（数学）.docVIP

江苏省如皋中学2010届高三考前指导最后一卷(压题卷) （参考部分名校的最后一卷） 1．(填空题压轴题:考查分段函数的单调性,字母运算等)已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a的取值范围是___________ 答案: 2.(三角与向量:考查两角和与差的三角公式,解三角形,三角与向量数量积) 设的三个内角所对的边分别为，且满. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，试求的最小值. 答案: 3. (立体几何:考查垂直与平行的判断)如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，． （Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面； （Ⅱ）当点位于线段什么位置时，平面？ 证明：（Ⅰ）在中， ∵，，，∴． ∴． 又 ∵平面平面， 平面平面，平面， ∴平面． 又平面， ∴平面平面． （Ⅱ）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面． 证明如下：连接AC，交于点N，连接MN． ∵，所以四边形是梯形． ∵，∴． 又 ∵，∴，∴MN． ∵平面，∴平面. 4.(解几:考查椭圆的有关几何性质,直线与圆的位置关系,曲线的轨迹,存在性问题与定值问题等)已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为． （1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值； （ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围； （2）设直线与轴、轴分别交于点，，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论． 解：（1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆： ，∴ ， ∴ ， ，∴． （ⅱ）由及圆的性质，可得，∴∴ ∴，． （2）设0，则 , 整理得 ∴方程为：， 方程为：． 从而直线AB的方程为：．令，得，令，得，∴，∴为定值，定值是. 5.(解几备选)已知椭圆的左、右焦点分别是，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足． （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明； （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程； （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由． 解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得 又由知， 所以 （Ⅱ） 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上． 当且时，由，得． 又，所以T为线段F2Q的中点． 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是 （Ⅲ） C上存在点M（）使S=的充要条件是 由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M． 当时，， 由，， ，得 6.(应用题)已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且克该种矿石的价值为元。 ⑴写出（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式； ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石，求价值损失的百分率； ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。 （注：价值损失的百分率；在切割过程中的重量损耗忽略不计） 解⑴依题意设，又当时，，∴， 故。 ⑵设这块矿石的重量为克，由⑴可知，按重量比为切割后的价值 为，价值损失为， 价值损失的百分率为。 ⑶解法1：若把一块该种矿石按重量比为切割成两块，价值损失的百分率应为 ，又，当且仅当时取等号，即重量比为时，价值损失的百分率达到最大。 解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为，则价值损失的百分率为 ，又，∴， 故，等号当且仅当时成立。 答：⑴函数关系式； ⑵价值损失的百分率为； ⑶故当重量比为时，价值损失的百分率达到最大。 7.(数列压轴题)已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立． （1）当m＝12时，求a2010； （2）若a52＝，试求m的值； （3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由． 解（1）m＝12时，数列的周期为24． ∵2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项， ∴a2010＝a18＝a12＋6＝． （2）设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝． ∵，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项． ∴a52最多是第三个周期中的项． 若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝． ∴m＝52－7＝45； 若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15； 若