实验报告_特征值特向量与线性变换.docVIP

实验五：特征值特征向量 姓名： 李思琴 周春雪 吴思 专业： 机电三班 成绩： 一、实验名称：特征值特征向量 二、实验目的： 1．利用MATLAB的函数eigshow理解方阵的特征值与特征向量的含义以及实特征值与复特征值的区别； 2．掌握利用Matlab函数eig求特征值与特征向量的方法； 3. 验证方阵的特征值与特征向量的性质； 4. 理解利用概念求特征值与特征向量的方法的局限性。 三、实验准备： 1. 特征值特征向量的概念与计算方法： 设A是n阶矩阵，如果数λ和n维向量x使关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。 计算方法： 1、计算矩阵A的特征多项式|A-λE|； 2、由特征方程|A-λE|=0得所有根为矩阵A的特征值； 3、对于A的不同特征值λi，解方程（λiE-A）x=0得到基础解系（α1，α2，…，α2），基础解系中特征向量的组合k1α1+k2α2+…+knαn（k1，k2，…，kn不同时为0）即为λi的全部特征向量。 2. 特征值与特征向量有哪些性质：（1)、A与A’的特征多项式相同，特征值相同； （2）、设λ为A的特征值，α为λ的特征向量，则： 1）、对任意的k有，kλ是kA的特征值； 2）、对任意正整数k有，有λ的k次方是A的k次方的特征值； 3）、若A可逆，则： 1/λi是A^-1的特征值，α是对应的特征向量； |A|/λi是A*的特征值，α是对应的特征向量； 4）、g（λ）是g(A)=a0A^m+a1A^m-1+……+amE的特征值，a是对应的特征向量，若： g（A）=0，则g（λ）=0。 3. 利用定义求特征值与特征向量的方法的局限性： 不易计算 四、实验内容 1.特征值的可视化。 Matlab有一个工具eigshow，可以把线性变换的作用可视化。eigshow命令打开一个图形窗口，同时显示一个单位向量x和Ax，即x在A下的像。矩阵A可以通过eigshow命令的输入参数给出，或从图形窗口顶端的菜单中选择。为看到算子A在其它单位向量上的作用，将鼠标指向向量x的点，并拖动x延逆时针方向绕单位圆旋转。当x运动时，将可以看到像Ax的变化。在这个练习中，我们将例用eigshow工具，研究eigshow菜单中矩阵的特征值和特征向量。 （1）菜单顶部的对角矩阵为 初始时，选择这个矩阵，向量x和Ax均应沿着x轴的正向。这个初始位置给出了特征值-特征向量对的什么信息？试说明。将x沿着逆时针方向旋转，直到x和Ax平行，即它们均位于过原点的直线上。对第二个特征值-特征向量对，可以得到什么结论？对第二个矩阵，重复这个试验。通过观察，不经过计算，你怎样求得一个2×2对角矩阵的特征值和特征向量？ （2）菜单中的第三个矩阵为单位矩阵E。当你将x绕着单位圆旋转时，x与Ex在几何上的比较是什么？在这中情况下，你可以得到关于特征值和特征向量的什么结论？ （3）第四个矩阵的对角线元素为0，且对角线下的元素为1。将x绕单位圆旋转并注意什么时候x和Ax是平行的。基于这个观察，求其特征值和对应的单位特征向量。通过将求得的特征向量乘以矩阵，验证来检验你的答案。 （4）eigshow菜单中的下一个矩阵，除了（2，1）位置上的元素替换为-1外，和上一个矩阵相同。将x完整地绕单位圆旋转一周。x和Ax平行过吗？A是否有某些实的特征向量？通过这个矩阵的特征值和特征向量，你可以知道什么？ （5）．研究菜单中的第六、七、八三个矩阵。对每种情况，尝试从几何上估计其特征值和特征向量，并使你猜测的特征值和矩阵的迹相容。通过令 [X,D]=eig([0.25,0.75;1,0.5]) 求第六个矩阵的特征值和特征向量。X的列为矩阵的特征向量，且D的对角元素为特征值。采用相同的方法检验其它两个矩阵的特征值和特征向量。 （6）研究菜单中的第九个矩阵。对它的特征值和特征向量，你可以得到什么结论？用eig命令求其特征值和特征向量，检验你的结论。 （7）研究菜单中的后面三个矩阵。应当注意后两个矩阵的特征值是相等的。对每一个矩阵，它们的特征向量的关系是什么？用Matlab计算这些矩阵的特征值和特征向量。 （8）在eigshow菜单中，运行最后一项，将随机生成一个2×2矩阵。尝试使用10次随机生成的矩阵，且对每一种情形，确定它们的特征值是否为实的。10个随机生成的矩阵中有实特征值的百分比是多少？随机生成矩阵的两个是特征值相等的可能性是多少？试说明。 2. Matlab提供了一个函数eig可以计算方阵的特征值与特征向量。试利用eig计算下列方阵的特征值与特征向量： （1）．；（2）；（3）．。 3. 构造一个矩阵A，例如可