常微分第二单元第3节.docVIP

2．3 恰当微分方程与积分因子 一、恰当微分方程 将改写成关于的对称形式: . 1． 定义：若(2.42)的左端恰好是某个二元函数的全微分，即 则称(2.42)为恰当微分方程。其中在某个矩形区域内是连续函数且具有连续的一阶偏导数。 2．通解：为任意常数。 3．恰当微分方程的判别及求解方法。 命题1 方程是恰当微分方程的充要条件是。 证明 ： 必要性， 若方程是恰当微分方程，则存在某个二元函数，使得 成立，有，,所以 ， 而是连续函数且具有连续的一阶偏导数，知，即有。 充分性 ，由所找的满足，把看成参数，积分得， ， 又由，得 只需说明上式右端与x无关，关于它对 x求导， 从而 得 有， 因而方程为恰当微分方程。 求的通解。 解: 这里 , , 方程为恰当微分方程. 设 满足 （1） , （2） 对（1）关于积分得 再对y求导 所以 从而 , 通解为 （c为任意常数） 例 解: 这里 方程为恰当微分方程， 设 满足 ， （1） ， （2） 对（1）关于积分得 再对y求导 于是，，取。 所以，通解为（c为任意常数）。 分项组合方法：把那些本身已经构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分的方法。 熟记一些二元函数的全微分 利用分项组合方法求的通解。（例1） 解: 分项组合得 有 , 得通解为 .（c为任意常数） 求解方程 解: 因为 , 为恰当微分方程. 分项组合得 , 得通解为 .（c为任意常数） 解法2: 这里 ，方程为恰当微分方程， 设 满足 ， （1） ， （2） 对（1）关于积分得 再对y求导 于是，， 所以，通解为（c为任意常数）。 小结：求解恰当微分方程的步骤： 判断方程是否为恰当微分方程 利用，求，（或用分项组合方法） 方程通解为为任意常数。 练习：P60 1 （1） 2 （1） （4） （5） （1） 解： ，=1 . 则，所以此方程是恰当方程。 分项组合得 得 ：，（c为任意常数） （3） 解： 则 ，因此此方程是恰当方程。 （1） （2） 对（1）关于的积分，则 = （3） 对（3）做的积分，则 = = 则 故此方程的通解为（c为任意常数）。 2（1）2x(y-1)dx+dy=0 解：= 2x , =2x 所以，=，故原方程为恰当方程 分项组合得：2xydx+dy-2xdx =0 所以，d(y-x)=0 故所求的解为y-x=C（c为任意常数）。 （4） 解：两边同除以 得 即， 故方程的通解为（c为任意常数）。 （5） 解：方程可化为： 即， 故方程的通解为： （c为任意常数）。 同时，y=0也是方程的解。 作业：P60 1 （3） （5）， 2 （2） （3） 二、积分因子 1．定义：若存在连续函数，使得 为恰当微分方程，则称为的积分因子。 注：1）当时，若已求得方程的通解为，则它是的通解。 2）若方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不唯一。 2．积分因子的求法。 （回忆）命题1 方程是恰当微分方程的充要条件是。 命题2 函数是的积分因子的充要条件是，即 证明：由命题1得证。 特殊情况： 1.，，则。 2.，若，则。 例 解:因为，所以积分因子为， 方程两边乘以，得 分项组合得， 解为，（c为任意常数） 还有解。 试用积分因子的方法求解线性方程. 解: 方程改写为 , , 从而有只与有关的积分因子, 乘方程两端得 即 , 从而通解为 , 即 （c为任意常数） 贝努利方程：的积分因子。 解: 不能做！ 两边同乘以，令， 线性方程有积分因子： ， 故原方程的积分因子为：。 求解方程. 解: 方程改写为 , 或 , 两边乘以 得 从而通解为 ,（c为任意常数） 即 求解方程. 解: 解法一, 只与有关的积分因子为 , 乘积分因子得 或 因而通解为 .（c为任意常数） 此外, 也是原方程的解. 解法二, 方程改写为 可观察的积分因子为 , 得 , 因而通解为 .（c为任意常数） 此外, 也是原方程的解. 解法三, 方程改写为 做变量替换，即，有，从而方程变为 . 因而通解为 代回原变量 有 ，（c为任意常数） 此外, 也是原方程的解. 解法四, 把看成未知函数, 看成自变量,方程变为线性方程 可解得 （c为任意常数） 此外, 也是原方程的解. 练习 1. 解方程 2． 解方程 1． 解方程 解 这里