9.1_第二型曲线积分.pptxVIP

代表 的反向曲线， 与 是两条不同的定向曲线.一、第二型曲线积分的定义1.定向曲线带有确定走向的曲线定向曲线的参数表达式定向曲线的向量表达式 规定: 当曲线L为简单封闭曲线时,可取曲线上任一点为始点,沿规定方向走一周回到该点.故该点也是终点.如无特殊说明,本书约定逆时针方向为正向. 由参数方程给出的定向曲线 在其上任一点处的切向量为: 其中当ab时 取正号,当ab时 取负号.我们规定与 走向相同的的切向量为有向曲线的切向量一、第二型曲线积分的定义2.切向量 若取由始点起到L上动点（x,y,z）的弧长为参数则曲线方程为：因此 是沿弧长增加方向的单位切向量一、第二型曲线积分的定义则相应的向量式表示为：由弧微分公式得到：则 沿着有向曲线L由A移动到B.问变力 对这个质点做了多少功?一、第二型曲线积分的定义3.定义问题：设一个质点在引力场 在此我们依旧引进分点系.计算变力在每一小弧长上对质点所做的功,最后加起来再求其极限.一、第二型曲线积分的定义先考虑变力 F 沿平面曲线 L 所作的功。力根据常力所作的功对曲线进行分割一、第二型曲线积分的定义求和近似值取极限精确值1.定义 设 ，曲线L为xoy平面上的定向光滑曲线,对L引进分点系一、第二型曲线积分的定义若和式极限存在,并且与L的分割方式以及诸点的取法无关,则称上式为 沿定向曲线L的第二型曲线积分,记作类似地，对向量函数可定义第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义 当 在光滑(或分段光滑)的定向曲线L上连续时,第二型曲线积分必然存在。2.可加性 若 ，且 ， 沿L可积，则二、第二型曲线积分的性质1.线性 设α和β都为常数,沿L可积,则二、第二型曲线积分的性质4.长大不等式 设 ，曲线L的长度是,则三、第二型曲线积分的计算设积分曲线L的参数方程为则因此第二型曲线积分可按下式化为定积分计算说明：2) 第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不一定小于上限 .3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性. 一般地，在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能否用对称性简化计算 .（2）L: y起点为c，终点为d.特殊情形例1解 A(a,0,0)对应与参数t=0,B(a,0,c)对应与参数z yO x例2计算曲线积分其中L是椭圆且从z轴正向看去L取顺时针方向11三、第二型曲线积分的计算根据公式化为定积分计算三、第二型曲线积分的计算例3解例4解注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 若曲线取由始点A的弧长为参数，曲线长为 ，设曲线方程为对一、二型曲线积分有四、第一、二型曲线积分的关系因为曲线L在点P(x,y,z)的单位切向量可表示为四、第一、二型曲线积分的关系例5.四、第一、二型曲线积分的关系所以四、第一、二型曲线积分的关系例6 四、第一、二型曲线积分的关系于是