全程方略2015届高考数学专项精析精炼2014年考点43.docVIP

温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点43 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 一、解答题 1.（2014·安徽高考文科·Ｔ21）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点， 若的周长为16，求； 若，求椭圆的离心率. 【解题提示】（1）利用椭圆的定义求解；（2）设，用k表示利用余弦定理解得出等腰，从而得到a,c的关系式。 【解析】（1）由，得，因为的周长为16，所以由椭圆定义可得，故。 （2）设，则k0,且由椭圆定义可得在中，由余弦定理可得 即， 化简可得，而a+k0,故a=3k,于是有， 因此,故为等腰直角三角形，从而。 2.（2014·安徽高考理科·Ｔ19）如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点. 证明：； (2)过原点作直线（异于，）与分别交于两点。记与的面积分别为与,求的值. 【解题提示】（1）设出两条直线的方程，联立抛物线方程，求出点，的坐标，利用向量证明平行关系； （2）利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。 【解析】（1）设直线的方程分别为，则 由，由， 同理可得， 所以=， = 故=，所以。 由（1）知，同理可得，，所以，因此,又由（1）中的=知，故 3. （2014·四川高考理科·Ｔ20）已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q． ①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当最小时，求点T的坐标. 【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想. 【解析】（1）依条件， 所以椭圆C的标准方程为 （2）设，，，又设中点为， ①因为，所以直线的方程为：， ， 所以， 于是，， 所以．因为， 所以，，三点共线， 即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）． ②，， 所以，令（）， 则（当且仅当时取“”）， 所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或. 4.（2014·四川高考文科·Ｔ20）已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． （）的标准方程； （）为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． ，且， 所以椭圆C的标准方程为. （2）设点的坐标为（，），则直线的斜率. 当时，直线的斜率，直线的方程是. 当时，直线的方程是，也符合的形式. 设，将直线的方程与椭圆的方程联立，得. 消去，得. 其判别式.所以，， . 因为四边形是平行四边形，所以,即. 所以.解得. 此时四边形的面积 . 5. （2014·重庆高考文科·Ｔ21）如图，设椭圆的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，的面积为 . (1)求椭圆的标准方程; (2)是否存在设圆心在 轴上的圆,使原在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由. 【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解. 【解析】(1)设其中 由得 从而 故 从而由得因此 所以故 因此，所求椭圆的标准方程为 （2）如图，设圆心在 轴上的圆 与椭圆相交， 是两个交点， 是圆的切线， 且由圆和椭圆的对称性，易知， 由（1）知所以 再由得由椭圆方程得 即解得或 当时， 重合，此时题设要求的圆不存在. 当时, 过分别与垂直的直线的交点即为圆心 设 由得 而 故 圆的半径 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为  6.（2014·湖北高考理科·Ｔ21）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C. 求轨迹为C的方程 设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。 【解题指南】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为，和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k（x+2）中取y=0得到，然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 【解析】（Ⅰ）设点,依题意得，即 化简整理得 故点的轨迹的方程为。 （Ⅱ）在点的轨迹中，记 依题意，可设直线的方程为 由方程组，可得 ① （1）当时，此时，把带入轨迹的方程，得 故此时直线与轨迹恰好有一个公共点 （2）当时