第3章 线性相关性 自测题.docVIP

第三章 线性相关性与矩阵的秩 自测题 选择题 (1) 向量组线性无关的充分必要条件是 ( ). A. 都不是零向量; B. 中任意两个向量都线性无关; C. 中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示; D. 中有一部分向量线性无关. (2) 已知向量组线性无关, 则向量组( )线性无关. A. ; B. ; C. ; D. (3) 设向量组 则该向量组的极大线性无关组为 ( ) A. B. C. D. (4) 设向量组的秩为r, 则 ( ) 必有; 向量组中任意少于r个向量的部分向量组都线性无关; 向量组中任意含r个向量的部分向量组都线性无关; 向量组中任意含多于r个向量的部分向量组都线性相关. (5) 设和为两个n维向量组, 且它们的秩都等于r, 则 ( ) 则两个向量组必等价; B. r(,)=r; C. 当可由线性表示时, 这两个向量组等价; D. 当s=t时, 这两个向量组等价. (6) 设向量组Ⅰ: , Ⅱ: , 则必有( ) A. Ⅰ线性无关时, Ⅱ一定线性无关; B. Ⅱ线性无关时, Ⅰ一定线性无关 C. Ⅱ线性相关时, Ⅰ一定线性相关; D. Ⅰ线性无关时, Ⅱ一定线性相关 填空题 (1) 已知和都是四维列向量组, 矩阵A=(), B=(), 且行列式, 则行列式= (2) 设A, B为n阶方阵, 且B为非零矩阵, 如果B的列都是齐次线性方程组Ax=0的解, 则行列式 (3) 已知是三维列向量, 矩阵A=(), 且行列式3, 则行列式= (4) 已知向量组 若可由唯一地线性表示, 则a的取值为 (5) 已知向量组 若不能由线性表示, 则a的取值为 (6) 已知四元线性方程组Ax=b的3个解为, 且 , 又已知r(A)=3, 则线性方程组Ax=b的通解为 3. 讨论下列向量组中, 参数a取何值时, 所给的向量组线性相关? ; 4. 试判别以下命题是否正确: (1) 若存在一组不全为零的数, 使向量组的线性组合, 则向量组线性无关. (2) 若存在一组全为零的数使向量组的线性组合,则向量组线性无关. (3) 向量组线性无关的充分必要条件是中任意t个向量都是线性无关的. (4) 若向量组中任取两个向量都是线性无关的, 则向量组也是线性无关的. (5) 向量组中, 不能由线性表示, 则向量组线性无关的. (6) 向量组则向量组线性相关, 且不能由线性表示, 则线性相关. 5. 已知向量可由向量组线性表示, 证明: 表示式唯一的充分必要条件是线性无关. 6. 已知向量组线性无关, 向量组, 线性相关, 证明: 和中有一个可由向量组线性表示, 或者向量组, 与, 等价. 7. 设向量组 试求出向量组的一个极大线性无关组, 指出向量组的秩, 并把向量组中除极大线性无关组外的向量表为极大线性无关组的线性组合 8. 设A为实矩阵, 证明: 线性方程组Ax=0与是同解方程组; . 9. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, 是其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 证明: (1) , 线性无关; (2) , 线性无关. (3) 非齐次线性方程组Ax=b的任一解都可由, 线性表示, 且若 则必有.