控制工程基础第5节稳定性分析.pptVIP

控制工程基础 第五章 第五章 控制系统的稳定性分析 5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz判据） 5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据） 5.5 乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性 5.8 李雅普诺夫稳定性方法 5.2 系统稳定的充要条件对于 上图所示控制系统，有 撤除扰动，即按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即当 时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一。 对应闭环系统特征根的实部，因此对于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的。由此，可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在[s]平面的左半面。 5.3 代数稳定性判据--劳斯稳定性判据这一判据基于方程式的根与系数的关系而建立。设系统特征方程为 式中， 为系统的特征根。 由根与系数的关系可求得 同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定。 劳斯阵列为 其中系数根据下列公式计算： 系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c，d, e等各行的系数， 这种过程一直进行到第n行被算完为止。系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵列中，为了简化其后的数值计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行。这时，并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。 例1: 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 如果系统闭环特征根均在s左半平面，且和虚轴有一段距离，则系统有一定的稳定裕量。如下图，向左平移虚轴σ，令z=s-(-σ), 即将s=z-σ代入系统特征式,得到z的方程式，类似采用劳斯判据，即可求出距离虚轴σ以右是否有根。 5.7 采用劳斯判据看系统相对稳定性 例： 令z=s-(-1),即s=z-1, 代入系统特征式,得 即 z的多项式各项系数无相反符号，且劳斯判据第一列未变号，可见，系统特征式在s=-1以右没有根。 （1）如果开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论， 这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论， 则 （2）如果开环特征多项式有P个根在s右半平面，q个零点在原点，其余（n-p-q）个根在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论， 这时如果闭环系统是稳定的，即 的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论， 则 或开环乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为 ，系统闭环后就是稳定的。也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，当ω从0连续增大到∞时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为180°；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90°。 这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断。 设开环特征多项式在右半平面有p个零点，原点处有q个零点，其余（n-p-q）个零点在左半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环乃氏图，当ω从0到∞变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为 时，系统闭环后稳定。 例5: 某反馈控制系统如图所示。试问k为何值时，系统稳定。 解： 系统开环传递函数 故p=1,q=0。 当K1时，频率特性为直径大于1的半圆，其频率特性如上图所示，可见 此时系统稳定。 当0K1时，频率特性为直径小于1的半圆，其频