第一章 矢量的通量和散度2.ppt

第一章 矢量分析 任意点处矢量的表示方法: 矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以表示为： A=A (x, y, z) 利用坐标分量表示法: 设Ax, Ay, Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量，且假定它们都具有一阶连续偏导数，则A可以示为 1.4 矢量场的通量与散度 1.4.1 矢量场的矢量线 第一章 矢量分析 所谓矢量线即在曲线上每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），如静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线. P为矢量线上任一点，其矢径为r， 则根据矢量线的定义，有 其中矢径r的表达式为 矢量线图 第一章 矢量分析 矢量线的特点 矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 第一章 矢量分析 1.4 矢量的通量和散度 1.4.2矢量场的通量 在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n（外法向矢量，如图所示），则面元矢量表示为： dS = n dS 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 第一章 矢量分析 由于所取的面元dS很小，因此可认为在面元上各点矢量场A的值相同，A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量记作 因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为 若S 为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 第一章 矢量分析 1.4.3. 矢量场的散度 (1) 散度的定义 设有矢量场A，在其中任一点P处作一个包含P点在内的闭合曲面S，设S所限定的体积为ΔV，当体积ΔV以任意方式缩向P点时，取下列极限: 如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度，记作 ? 散度的物理意义 ? 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 ? 矢量场的散度是一个标量 ? 矢量场的散度是空间坐标的函数 ? 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度 ? 若 ，则该矢量场称为有源场，?为源密度 ? 若 处处成立，则该矢量场称为无源场 讨论：在矢量场中， ( 正源) 负源) ( 无源） ?从点P 单位体积内散发的通量 第一章 矢量分析 散度的表达式为(直角坐标系) 圆柱坐标系 球坐标系 第一章 矢量分析 重要的定理为散度定理又称高斯定理 该公式表明了矢量场 的散度在体积V内的积分等于矢量场在限定该体积的边界面S上的积分（通量）。 散度定理的证明 从散度定义有： 则在一定体积V内的总的通量为： 得证！ 例如：已知R=ex(x-x’)+ey(y-y’)+ez(z-z’), R=|R| 求矢量 在 处的散度