华农经济数学7章答案.docx

第7章答案7-1答案1.设，求.解：令，，则，即，即故2.设函数，若当，求和的表达式.解：当时，令，则，即故.又，故3.求下列函数的定义域：⑴解：⑵解：⑶解：仅作参考，不喜勿喷12级经管5班【@樱蝶销魂_笨笨熊】⑷解：⑸解：4.求下列各极限：⑴解：函数是二元初等函数，且在的定义区域内【此句可以省略】，所以：⑵解：函数是二元初等函数，且在的定义区域内【此句可省略】，所以：【此类题首先可以利用初等函数性质判断函数是否连续，而极限点在定义区域内，则可用公式：】⑶解：⑷解：⑸解：【当时，，无穷小替换有：，】⑹解：当时，，而，为有界函数，即无穷小X有界量=无穷小。故：5.证明下列极限不存在：⑴解：证：当，假设沿直线（）趋于，则有：上式右端的值随k的变化而变化，即当沿不同的直线趋于时，趋于不同的值不存在.⑵解：证:当，假设沿直线（）趋于，则有：又若存在，则的值不随k值的变化而变化，又：，的值随k的变化而变化，即当沿不同的直线趋于时，趋于不同的值不存在.【此类题可以通过假设沿不同的直线或曲线（必过，例如=时，则可以设为或等）趋于，根据所求极限是否唯一来进行判断，要注意的是，只要存在不唯一，就能说明极限不存在，但假如在所设直线或曲线下唯一，这并不能说明极限就存在，极限存在必然是任意逼近都唯一，而不是单纯的有限个方向。】6.证明：解：证：令则因为，而无穷小X有界量=无穷小，所以，故【对于有的式子可以考虑运用三角换元。】7.函数在何处是间断的？解：是二元初等函数，所以在其定义区域内连续。而的定义区域为，所以在区域为处间断。8.试定义函数在点的值，使得在该点连续。解：是二元初等函数，所以在其定义区域内连续。即在区域内间断.而【无穷小替换】，故若补充，则使得在点连续。7-2答案1.求下列函数的偏导数：【求则把y当成常数，求则把x当成常数】⑴解：，⑵解：，利用复合函数求导得：即即.⑶解：⑷解：⑸解：⑹解：【总之，只要搞清楚谁是变量，谁应该看成常数，并结合导数的运算法则和复合函数的求导法则，就可以准确地得出相应的偏导数。另外，偏导数的记号是一个整体记号，不能看成分子与分母的商，这区别于一元导数中可以看成是商的.】2.设，求证：.解：证：故得证！3.设，求.解：即，故4.求下列函数的二阶偏导数：⑴解：，【由于，所以求得其中一个即可.又实际上可以省略中间步骤，即：只要求出便可以求出二阶偏导数。这类题目，只要掌握好基本的求导方法和公式，就属于简单题，下面只作求导较难题目的详细过程。】⑵解：，，⑶解：，⑷解：5.设，求及.解：，6.设，证明：函数在点处的偏导数存在但不连续。解：证：在点对x，y的偏导数分别为：令沿曲线逼近点，则：上式右端的值随m的变化而变化，即当沿不同的曲线趋于时，趋于不同的值，故不存在。即：函数在点处的偏导数存在但不连续故命题得证！7.（2009年数学三），求.解：7-3答案1.求下列函数的微分。⑴解：因为所以⑵解：因为所以⑶解：因为所以⑷解：因为所以【公式：，】2.求函数在点处的全微分.解：3.求函数当，，时的全增量与全微分。解：全增量：全微分：4.计算的近似值.解：设，【由全微分的在近似计算中的应用有：当都较小时，存在近似代换：】故，令则：而则：故：5.计算的近似值.解：设函数，令由近似代替得：而代入数据得：故6.设有厚度为0.1cm，内高为10cm，内半径为2cm的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值（设容器的壁厚和底的厚度相同）.解：设圆柱容器的半径为r，高为h，体积为V则有，令由于，所以而，即故容器外壳体积的近似值为.7.证明：函数在点处不可微.解：证:即判断是否存在且为0.又当沿直线趋于时：故函数在点处不可微.【若要证函数在点可微，可以通过以下两个方法证明：1.通过证明偏导数在该点邻域存在，且偏导函数在点连续，从而得出函数在点可微（充分条件,常用于证明某区域的可微性）. 2.利用定义证明：若，则可微，即：若则可得出函数在点可微.（常用于证明某点的可微性）需要注意：要证明函数在点不可微时，只能通过得出，而不能通过偏导函数在点不连续得出（因为这只是充分条件，而不是充要条件，即偏导数不连续也有可能可微）】8.（2011年数学三）设函数，求.解：即附加扩展内容：1.关系图表：【明确掌握各关系，有助于分析相关问题和想象能力。】2.二元函数方向导数的几何意义：3.一元函数微分的几何意义：4.全微分的几何意义：7-4答案熟记以下公式：1.一元函数复合成二元函数（其中）时：【一元函数复合成一元函数，其中时：】2.二元函数复合成二元函数（）即时：，【推广到更多中间变量，类推即可.但注意，的情况。即或，一般来说代表整体对x求偏导，而则是局部对x求偏导】3.求二阶偏导数：【虽然比较长，但是只要运用求导的乘法法则和复合法则，就可以细心地得出，其中主要