人教版高一(上) 1.7四种题（第2课时）教案.doc

第二课时 反证法 教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法 2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力 教学重点：反证法证题的步骤 教学难点：理解反证法的推理依据及方法 教学过程： 一、复习提问： 1．四种命题的相互关系 2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假：原命题与其逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假 练习1、下列结论错误的是（D） （A）原命题为真，其逆命题不一定为真 （B）原命题为真，其否命题不一定为真 （C）逆命题为真，否命题就一定为真 （D）原命题为真，逆否命题不一定为真 练习2、一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（B） （A）真命题的个数一定是奇数 （B）真命题的个数一定是偶数 （C）真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 （D）上述判断都不正确 练习3、若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r， 则q是r的 否 命题 练习4、写出下列命题的否定形式和命题的否命题 自然数的平方是正数 若x2+y2=0,则x，y全为零 分析：（1）否定形式：自然数的平方不是正数 否命题：若a不是自然数，则它的平方不是正数 （2）否定形式：若x2+y2＝0，则x,y不全为零 否命题：若x2+y2≠0，则x,y不全为零 练习5、写出下面命题的等价命题： （1）圆内接四边形的对角互补 （2）若x=1或x=-3,则x2+2x-3=0 分析：就是写出这么命题的逆否命题 （1）对角不互补的四边形不是圆内接四边形 （2）若x2+2x-3=0，则x=1或x=-3 3．初中时我们已经学习过反证法，那什么叫反证法呢？ 从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 二、反证法 【例1】证明 是无理数。 分析：要证不是一个有理数，直接去证明有困难，可以转化为证明命题是有理数为假命题。——正难则反的思想 证明：假设是有理数，则可以表示为＝p/q (其中p、q是不可约的整数) 两边平方后得到：2＝p2/q2 即p2＝2q2 ∴p2是偶数，从而p也是偶数 于是q2=p×p/2 是偶数 ∴q也是偶数 从而得到矛盾 所以假设不成立，所以 是无理数。 思考与归纳： (1).“是无理数”，“不是无理数”两个命题之间有何关系？——不具备互逆、互否、互为逆否关系，而是其中一个对另一个的否定。即对“是有理数”的肯定判断与否定判断。亦即：p: 是有理数。 p: 是无理数。 (2). 要证命题p为真，通过证明命题p为假，从而肯定命题p为真的证明方法称反证法。它的逻辑关系是：命题“若p则q”的否定是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若p则q”为真。 (3)反证法证题的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立—— 反判 ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾—— 归谬 ③由矛盾的产生可以判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确 ——否定假设，肯定结论。 【例2】证明：如果那么 证明：假设 则 所以 即a≤b 与已知矛盾 所以假设不成立 ∴ 点评：用反证法证题时，应注意结论的反面有几种情形，可否统一处理。如果不能统一处理，则需分类讨论，一一归谬，才能肯定原结论成立。 【例3】若p1p2=2(q1+q2)，证明：关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中，至少有一个方程有实数根。 证明：假设两个方程都没有实数根，则Δ10, Δ20 从而Δ1＋Δ20…………………………………………………………① 又Δ1＋Δ2＝（p12－4q1）+（p22－4q2）= p12+p22－4(q1+q2) 由已知p1p2=2(q1+q2)可知 Δ1＋Δ2＝p12+p22－2p1p2=( p1+p2 )2≥0，这样①相矛盾， 所以假设不成立 所以所给的两个方程中至少有一个有实数根 点评：对于证结论是“至少……”，或“至多……”的命题，宜用反证法练习2。 三、归纳小结 1．初步理解反证法的理论依据是原命题与其逆否命题的等价性。初步掌握用反证法证题的一般步骤。 2．正难则反的思想 3．对于证明结论是“至少……”，或“至多……”的命题，宜用反证法 原命题