二元函数极限存在判别法论文.doc

　 编号 学士学位论文 二元函数极限存在的判别法 学生姓名： 学 号： 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 指导教师： 完成日期： 20 年 05 月 10 日 摘要 极限方法是研究函数的主要方法之一。极限理论，思想方法在许多领域有着广泛应用，函数的极限是高等数学的重点，难点的内容，二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展的，二者之间即有联系也有区别，一元函数和二元函数的四则运算是相同的，但是随着变量的个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得复杂得多，本文先介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限的定义，讨论了二重极限与累次极限之间的关系，并且利用二重极限与累次极限的关系给出有关二重极限存在性的一些结论，二元函数极限存在的充分条件，主要讨论不可约有理分式函数极限存在的判别法，以及齐次有理分式函数极限存在的判别法。 关键词：二元函数极限，二重极限，累次极限。  目　录 摘要 I 引言 1 1.二元函数极限的基本概念 1 2.二重极限与累次极限之间的关系 4 2.1关系1 4 2.2关系2 4 2.3关系3 （定理1） 5 3.二元函数极限存在的充要条件 6 4.有关极限存在的结论 9 4.1结论1 9 4.2结论2. 9 4.3结论3 11 4.4结论4 15 总结 19 参考文献 20 致谢 21 引言 二元函数的极限是在一元函数的极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某点的方式，这是这两者的最大的区别。极限是数学分析中非常重要的概念之一，也是比较难理解和掌握的知识，特别是二元函数的极限。极限的基本思想自始至终对解决分析中面对的问题起关键的作用。 对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定任意方向的都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量不同变化趋势和函数的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后对复杂的二重极限计算，就能简便。 下面我介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限，二元函数极限存在的一些方法。 1.二元函数极限的基本概念 定义：设函数在区域D内有定义，是D 的内点，如果对于任意给定的正数，总存在正数 ，使得于D内且适合不等式, 有 当 ， 的一切点，都有成立，则称常数A为函数，在点的二重极限。 记作： 或 . 例1:证明： 证明： ， 先限制定在点（2,1）的的方领域 上讨论，于是有 所以 设为人给的正数，取，则当 时，就有; 即 . 例2. 证明：. 证：对函数的自变量作极坐标变换这时等价于任何都有，由于 = = 因此对任何，只需，当时不管取什么值都有即; 二．累次极限 定义：设在点的某个领域有定义 。 如果当时(看成常数）,函数存在极限,设 ，当时，也存在极限，设 , 同理有， 则称B和 C 是函数 在点 的累次极限. 例3.讨论时的极限. 解：当动点沿着直线趋于定点时，由于此时 ，因而有 . 结果说明动点沿不同的斜率的直线趋于原点时，对应的极限值也不同。因此讨论的极限(二重极限)不存在. 但当时有 从而有 同理可得 即的两个累次极限都存在且相等. 2.二重极限与累次极限之间的关系 一般来说，二重极限和累次极限没有蕰涵关系。 2.1关系1 两个累次极限都存在且相等，但是二重极限可能不存在。 例4:函数=，，在原点两个累次极限都存在且相等，但是二重极限不存在。 证明：当动点沿着抛物线无限趋近于定点时，有（将换成）（将换成） 于是函数在原点的二重极限不存在。 当沿着抽和沿着抽无线趋近于原点时极限都在.