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中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考学综合能力题30讲第09讲 数列综合问题
数学高考综合能力题选讲9
数列综合问题
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点.数列作为高中数学的重要内容,不仅本身成为高考考查的重点,而且常常与不等式、函数、解析几何等知识综合在一起,成为高考命题的热点.
范例选讲
例1 已知函数,点,是函数图像上的两个点,且线段的中点的横坐标为.
(Ⅰ)求证:点的纵坐标是定值;
(Ⅱ)若数列的通项公式为,求数列的前m项的和;
(Ⅲ)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
讲解:这是一道函数、数列、不等式的综合问题.对于(Ⅰ),直接验证即可;对于(Ⅱ),观察的构成:
,
可知(Ⅰ)的结论又为(Ⅱ)作了铺垫;对于(Ⅲ),则应在(Ⅱ)的基础上,充分利用“恒成立”,结合函数、不等式的知识去解决.总之,本题层层递进,每一小题均为后一小题的基础,因此,从(Ⅰ)开始,认真走好每一步是解决好本题的关键.
(Ⅰ)由题可知:,所以,
点的纵坐标是定值,问题得证.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:对任意自然数,恒成立.
由于,故可考虑利用倒写求和的方法.即由于:
所以,
所以,
(Ⅲ)∵, ∴
∴等价于 ①
依题意,①式应对任意恒成立.
当时,①式显然不成立,因此不合题意.
当时, ,所以,只需对任意恒成立,而当为偶数时,不成立,因此,不合题意.
当时,因为(),所以,需且只需对任意恒成立.即:对恒成立.
记().
∵ ,
∴ ()的最大值为,
∴ .
点评:对于“恒成立”的问题,往往采用分离变量的方法,转化为求某一函数的最值.
例2 已知函数与函数的图像关于直线对称.
(Ⅰ)试用含的代数式表示函数的解析式,并指出它的定义域;
(Ⅱ)数列中,,当时,.数列中,,.点在函数的图像上,求的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作倾斜角为的直线,则在y轴上的截距为,求数列的通项公式.
讲解:本题条件繁多,内容涉及解析几何、函数、数列多个方面,因此,我们首先需要仔细阅读题目,并根据题设理清思路,从繁杂的条件中选取有用的信息,把握问题的实质:实际上,本题的实质仍然是数列问题,解析几何和函数只是起到一种伪装的作用.
(Ⅰ)由题可知:与函数互为反函数,所以,
,
(Ⅱ)因为点在函数的图像上,所以,
(*)
在上式中令可得:,又因为:,,代入可解得:.
所以,,(*) 式可化为:
①
(Ⅲ)直线的方程为:,,
在其中令,得,又因为在y轴上的截距为,所以,
=
结合①式可得: ②
由①可知:当自然数时,,,两式作差得:.
结合②式得:
③
在③中,令,结合,可解得:,
又因为:当时,,所以,舍去,得.
同上,在③中,依次令,可解得:,.
猜想: .下用数学归纳法证明.
(1)时,由已知条件及上述求解过程知显然成立.
(2)假设时命题成立,即,则由③式可得:
把代入上式并解方程得:
由于,所以,,所以,不符合题意,应舍去,故只有.
所以,时命题也成立.
综上可知:数列的通项公式为
点评:演绎和归纳是解决数列问题的常用方法;解决综合题的策略往往是把综合问题分解成几部分,然后各个击破.
高考真题
(1995年全国高考)设是由正数组成的等比数列,是其前n项和,
(Ⅰ)证明:()<;
(Ⅱ)是否存在常数c>0,使得[lg(-c)+lg(-c)]lg(-c)?并证明你的结论.
(1999年全国高考)已知函数的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为的线段(其中正常数≠1),设数列由=(=1,2,…)定义
(Ⅰ)求和的表达式;
(Ⅱ)求的表达式,并写出其定义域;
(Ⅲ)证明的图象与的图象没有横坐标大于1的交点.
[答案与提示:1.不存在满足题意的常数. 2.(Ⅰ) ;(Ⅱ)当时,的定义域为,当时,的定义域为;(Ⅲ)略.]
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