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高二 平面解析几何 第二章 圆锥曲线 第五单元 抛物线 一、教法建议 【抛砖引玉】 本单元有两小节，第一节是抛物线及标准方程。主要讲的是双曲线的定义和标准方程的四种形式。第二节是抛物线的几何性质，主要内容是讨论了抛物线的范围，对称性、顶点、离心率。 在前面两个单元，我们学习了椭圆和双曲线的另一个定义（椭圆和双曲线的统一定义），我们可以引导学生先复习。“与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，对于比值e，引导学生想到e=1时是什么曲线这个问题。从而引出抛物线的定义。 对于抛物线的标准方程。根据抛物线的定义，画出第一种形式中准线L和焦点F的位置，引导学生自己考虑坐标系应如何建立，才能使方程最简单，为了建立定点的坐标和定直线的方程，引导学生对比椭圆、双曲线中的参数C，找出抛物线中的参数p（p＞0）是焦点到准线的距离。从而建立抛物线的标准方程中的y2=2px（p＞0）这种形式。由于定点和定直线（即焦点和准线）的位置不同，要让学生自己写出另外三种形式的抛物线的标准方程。对于四种形式的标准方程要求学生熟练掌握。要求给出抛物线的图形能准确写出它的标准方程；反之，若给出抛物线的标准方程时，能准确画出抛物线在坐标系中的位置。 抛物线的几何性质比较简单，根据它的位置，它的范围就很明确，它只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点和一条准线，它的离心率e=1，它没有中心，这一点与椭圆、双曲线不同。 由于抛物线只有一个参数p，抛物线的标准方程形式比椭圆、双曲线简单，只是抛物线有四种不同的位置，相对应四种形式的标准方程，要求我们重视。 【指点迷津】 1．对于抛物线的四种标准方程与它们所表示的抛物线的位置的关系学生混淆，怎样解决这个问题呢？我们先画出下面表格。 方 程 图 形 焦 点 准 线 y2=2px （p＞0） F（，0） x=－ y2=－2px （p＞0） F（－，0） x= x2=2py （p＞0） F（0，） y=－ x2=－2py （p＞0） F（0，－） y= 从上表看出它们的顶点都是原点，对称轴都是坐标轴，焦点与准线均分别在原点两边且与原点的距离相等。因此只要判断它们的对称轴是x轴还是y轴，以及抛物线的开口方向。判断标准是，方程中一次项变量如果是x，则对称轴为x轴，一次项变量如果是y，则对称轴为y轴；而方程中一次项系数的符号决定开口方向，一次项系数是正号时，抛物线开口向着对称轴的正方向。一次项系数是负号时，抛物线开口向着对称轴的负方向。 2．由抛物线的标准方程确定抛物线的参数p（p＞0）的值也是极易出错的。四种形式的标准方程中等号左边都是y（或x）的二次项。等号右边相应的是x（或y）的一次项，一次项的系数除正负号不同外，又都是2p，而不是p，例如x2=－4y中，2p=4，p=2，进而焦点为F（0，－1），准线为y=1，对这一点要反复强调。反复练习，要求学生在已知抛物线的标准方程时，先写出2p的值。再写p值，并使学生牢牢记住p表示焦点到准线的距离，从而一定有p＞0。 二、学海导航 【思维基础】 抛物线是课本中研究的最后一种圆锥曲线，在它前面我们已经学习了圆、椭圆、双曲线，还有第一章中的直线，可以说我们已经初步掌握了解析几何的基本研究方法和解题思路，因此抛物线这一单元除了根据抛物线的定义得到抛物线的方程和它特有的几何性质外，解决问题的思路和方法都有很强的复习性质，综合性问题也有所增加，必须提高解综合题的能力。 1．求抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种形式，确定标准方程的关键是确定参数p的值和开口方向（或焦点位置），如果条件中只能确定p的值，而无法确定开口方向，则满足条件的标准方程应当有四种。 例如：求顶点在原点，焦点在坐标轴上，满足下列条件的抛物线的标准方程。 （1）准线是y=2 （2）焦点和顶点的距离是1 （3）经过点A（2，－3） （1）中的准线是y=2，告诉我们=2，且焦点在y轴负半轴，因此标准方程是x2= －2py的形式。由p=4，所以，所求标准方程是x2=－8y （2）中的条件是焦点和顶点的距离是1，即=1，p=2，但是焦点位置没有确定，四种情况都有可能。因此所求标准方程是y2=4x，y2=－4x，x2=4y，x2=－4y （3）抛物线经过点A（2，－3）因为点A（2，－3）在第四象限，所以抛物线的开口可能向右，还可能向下，即可能是y2=2px或x2=－2py两种形式，若抛物线方程是y2=2px， ∵经过点A（2，－3） ∴(－3)2=2p×2 p= 抛物线的标准方程为y2=