概率统计和随机过程第五章 随机变量数字特征.pptVIP

课件 课件 一般地，若 X ,Y 相互独立，则 所以 * 课件 E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 相互独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 数学期望的性质 * 课件 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立 反例 1 X Y pij -1 0 1 -1 0 1 0 p? j pi? 注 * 课件 X Y P -1 0 1 但 * 课件 作 业 习题五 5，6，11，12，14 * * 课件 第五章 随机变量的数字特征 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函数. 评定某企业的经营能力时，只要知道该企业 人均赢利水平； 例如： 研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 平均粒数及每粒的平均重量； 检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长 度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好; * 课件 考察一射手的水平，既要看他的平均环数 是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数 据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 * 课件 随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关 系的数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 * 课件 §5.1 随机变量的数学期望 加 权 平 均 初 赛 复 赛 决 赛 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙 引例1 甲乙两学生参加数学竞赛, 观察其胜负 * 课件 引例2 测量 50 个圆柱形零件直径（见下表） 则这 50 个零件的平均直径为 尺寸（cm） 8 9 10 11 12 数量（个） 8 7 15 10 10 50 * 课件 换一个角度看，从这50个零件中任取一个零件， 它的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8 9 10 11 12 则这 50 个零件的平均直径为 称之为这 5 个数字的加权平均，数学期望的 概念源于此 * 课件 定义1 设 X 为离散型随机变量，其概率分布为 若无穷级数 绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望 记作 E( X ) 数学期望的定义 * 课件 定义2 设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为 若广义积分 绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学期望 记作 E( X ) 随机变量的数学期望的本质 —— 加 权 平 均， 它是一个数不再是随机变量 * 课件 例1 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 * 课件 例2 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) . 解 * 课件 常见随机变量的数学期望 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? * 课件 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) * 课件 注意：不是所有的随机变量都有数学期望 例如：Cauchy分布的密度函数为 但 发散 它的数学期望不存在 （为什么?） * 课件 设X 为离散型随机变量，概率分布为 Y = g(X ), 若级数 绝对收敛，则 随机变量函数的数学期望 * 课件 设X 为连续型随机变量，密度函数为f (x) Y = g(X ), 绝对收敛，则 若广义积分 * 课件 设(X ,Y )为二维离散型随机变量，概